Jak z równania okręgu odczytać środek i promień?

Geometria analityczna

Geometria w układzie współrzędnych: proste, odcinki, okręgi i wielokąty opisane równaniami. Zadania, w których rachunek zastępuje klasyczny dowód geometryczny.

Ten dział to średnio 1 zadanie i 5,4 pkt na arkuszu.

Zadanie 1 Geometria analityczna

1 pkt

Odległość punktu

A = (6, 2)

od prostej o równaniu

5 x - 12 y + 1 = 0

jest równa

\frac{7}{13}

1
Korzystamy ze wzoru na odległość punktu $(x_{0}, y_{0})$ od prostej $A x + B y + C = 0$ . Tutaj $A = 5$ , $B = - 12$ , $C = 1$ .
$d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$
2
Podstawiamy współrzędne punktu $A = (6, 2)$ .
$d = \frac{∣5 \cdot 6 - 12 \cdot 2 + 1∣}{5 ^{2} + ( - 12 ) ^{2}} = \frac{∣30 - 24 + 1∣}{169} = \frac{7}{13}$

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Długość odcinka i współrzędne środka odcinka
Równanie prostej w postaci kierunkowej i ogólnej
Proste równoległe i prostopadłe, kąt nachylenia prostej
Odległość punktu od prostej
Równanie okręgu i wzajemne położenie prostej i okręgu
Pole wielokąta o danych wierzchołkach

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Długość odcinka
Długość odcinka $A B$ o końcach w punktach $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ jest równa:

∣ A B ∣ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Współrzędne środka odcinka
Współrzędne środka $S = (x_{S}, y_{S})$ odcinka $A B$ o końcach w punktach $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ są równe:

x_{S} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}

y_{S} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}

Równanie kierunkowe prostej
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi $O y$ , to można opisać ją równaniem kierunkowym:

y = a x + b

Liczba $a$ to współczynnik kierunkowy prostej.

a = tg α

Prosta o równaniu $y = a x + b$ przecina oś $O y$ w punkcie $(0, b)$ .

Równanie kierunkowe prostej o danym współczynniku kierunkowym $a$ , która przechodzi przez punkt $P = (x_{0}, y_{0})$ :

y = a (x - x_{0}) + y_{0}

Równanie kierunkowe prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ :

y - y_{A} = a (x - x_{A})

gdzie

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}} gdy x_{B} \neq = x_{A}

Równanie ogólne prostej

A x + B y + C = 0, gdzie A, B, C \in R i A^{2} + B^{2} \neq = 0

Jeżeli $A = 0$ , to prosta jest równoległa do osi $O x$ ; jeżeli $B = 0$ , to prosta jest równoległa do osi $O y$ ; jeżeli $C = 0$ , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Równanie ogólne prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ :

(y - y_{A}) (x_{B} - x_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x - x_{A}) = 0

Proste równoległe
Dwie proste o równaniach kierunkowych $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

a_{1} = a_{2}

Dwie proste o równaniach ogólnych $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ oraz $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

A_{1} \cdot B_{2} - A_{2} \cdot B_{1} = 0

Proste prostopadłe
Dwie proste o równaniach kierunkowych $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Dwie proste o równaniach ogólnych $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ oraz $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

A_{1} \cdot A_{2} + B_{1} \cdot B_{2} = 0

Odległość punktu od prostej
Odległość $d$ punktu $P (x_{0}, y_{0})$ od prostej o równaniu ogólnym $A x + B y + C = 0$ jest równa:

d = \frac{∣ A \cdot x _{0} + B \cdot y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r > 0$ w postaci kanonicznej:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r > 0$ w postaci ogólnej:

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

gdzie $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Współrzędne wektora, długość wektora, działania na wektorach
Dane są punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ oraz $B = (x_{B}, y_{B})$ . Współrzędne wektora $A B$ zaczepionego w punkcie $A$ :

A B = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}]

Jeżeli $u = [u_{1}, u_{2}]$ oraz $v = [v_{1}, v_{2}]$ są wektorami oraz $a \in R$ , to:

u + v = [u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}]

a \cdot u = [a \cdot u_{1}, a \cdot u_{2}]

Długością $∣ u ∣$ wektora $u = [u_{1}, u_{2}]$ nazywamy liczbę

∣ u ∣ = (u_{1})^{2} + (u_{2})^{2}

Przekształcenia geometryczne

Przesunięcie o wektor $u = [a, b]$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (x + a, y + b)$ .

Symetria osiowa $S_{O x}$ względem osi $O x$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (x, - y)$ .

Symetria osiowa $S_{O y}$ względem osi $O y$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (- x, y)$ .

Symetria środkowa $S_{K}$ względem punktu $K = (a, b)$ przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (2 a - x, 2 b - y)$ .

W szczególności symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt $P = (x, y)$ na punkt $P^{'} = (- x, - y)$ .

Pole trójkąta
Pole trójkąta $A B C$ o wierzchołkach $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ oraz $C = (x_{C}, y_{C})$ jest równe:

P_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot ∣ (x_{B} - x_{A}) (y_{C} - y_{A}) - (y_{B} - y_{A}) (x_{C} - x_{A}) ∣

Współrzędne środka ciężkości trójkąta
Współrzędne środka ciężkości $S = (x_{S}, y_{S})$ trójkąta $A B C$ o wierzchołkach $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ oraz $C = (x_{C}, y_{C})$ , czyli punktu przecięcia jego środkowych:

x_{S} = \frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}

y_{S} = \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}

Najczęstsze pytania

Sprowadzasz równanie do postaci kanonicznej, uzupełniając wyrażenia z x i z y do kwadratu sumy. Liczby odejmowane od x i od y to współrzędne środka, a pierwiastek z prawej strony to promień.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu geometria analityczna.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Najczęstsze pytania