Matura podstawowa wrzesień 2022, arkusz z odpowiedziami

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez

25

, jest

Poprawna odpowiedź

B.

9 \cdot 10 \cdot 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

wyrażenie

\frac{2}{x - 1} - 5

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{- 5 x + 7}{x - 1}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

wyrażenie

9 - (x^{2} - 2 x y + y^{2})

jest równe

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

D i F

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Rozwiąż równanie

3 x^{3} - 6 x^{2} - 27 x + 54 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 3

lub

x = 2

lub

x = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie

\frac{( x ^{2} + x ) ( x + 3 ) ( x - 1 )}{x ^{2} - 1} = 0

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Poprawna odpowiedź

B.

x = - 3, x = 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

Poprawna odpowiedź

C.

∣ x + 2∣ \geq 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę

1040

zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach

20

zł,

50

zł oraz

100

zł. Banknotów

100

-złotowych było dwa razy więcej niż

50

-złotowych, a banknotów

20

-złotowych było o

2

mniej niż

50

-złotowych.

Niech

x

oznacza liczbę banknotów

50

-złotowych, a

y

– liczbę banknotów

20

-złotowych, które otrzymał ten klient.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb

x

i

y

to

Poprawna odpowiedź

A.

{20 y + 50 x + 100 \cdot 2 x = 1040 y = x - 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10.1

1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

określonej dla każdego

x \in [- 5, 4)

. Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Zapisz zbiór wartości funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

[- 4, 4]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10.2

1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

określonej dla każdego

x \in [- 5, 4)

. Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dla każdego argumentu z przedziału $(- 4, - 2)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.	P	F
Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10.3

1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

określonej dla każdego

x \in [- 5, 4)

. Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejsza wartość funkcji

f

w przedziale

[- 4, 0]

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

(- 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są: punkt

A = (8, 11)

oraz okrąg o równaniu

(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odległość punktu

A

od środka tego okręgu jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

13

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.1

1 pkt

Basen ma długość

25

m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa

1, 2

m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość

y

basenu zmienia się wraz z odległością

x

od brzegu w sposób opisany funkcją:

y = {a x + b 0, 18 x - 0, 9 dla 0 \leq x \leq 15 m dla 15 m \leq x \leq 25 m

Odległość

x

jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości

x

i

y

są wyrażone w metrach.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Największa głębokość basenu jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

3, 6

m

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.2

2 pkt

Basen ma długość

25

m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa

1, 2

m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość

y

basenu zmienia się wraz z odległością

x

od brzegu w sposób opisany funkcją:

y = {a x + b 0, 18 x - 0, 9 dla 0 \leq x \leq 15 m dla 15 m \leq x \leq 25 m

Odległość

x

jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości

x

i

y

są wyrażone w metrach.

Oblicz wartość współczynnika

a

oraz wartość współczynnika

b

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = 0, 04

,

b = 1, 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.1

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x - 1)^{2} + 2

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykresem funkcji

f

jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

A.

(1, 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.2

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x - 1)^{2} + 2

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

A.

(- \infty, 2]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.1

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{7 ^{n}}{21}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pięćdziesiątym wyrazem ciągu

(a_{n})

jest

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{7 ^{49}}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.2

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{7 ^{n}}{21}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.	P	F
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $20$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dana jest prosta

k

o równaniu

y = 3 x + b

, przechodząca przez punkt

A = (- 1, 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik

b

w równaniu tej prostej jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.1

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Ciąg

(a_{n})

jest

A. rosnący,	ponieważ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$	1. $a_{n + 1} - a_{n} = - 1$
B. malejący,		2. $a_{n + 1} - a_{n} = 0$
C. stały,		3. $a_{n + 1} - a_{n} = 3$

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Poprawna odpowiedź

A3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.2

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Najmniejszą wartością

n

, dla której wyraz

a_{n}

jest większy od

25

, jest

Poprawna odpowiedź

B.

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.3

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 3 n - 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

57

dla

n

równego

Poprawna odpowiedź

A.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, dane są:

prosta $k$ o równaniu $y = \frac{1}{2} x + 5$
prosta $l$ o równaniu $y - 1 = - 2 x$ .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

i

l

Poprawna odpowiedź

C. są prostopadłe.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia

(1 - cos 20°) \cdot (1 + cos 20°) - sin^{2} 20°

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy

4 : 5

. Z pojemnika losujemy jedną kulę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{4}{9}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Punkty

A

,

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Kąt

A B O

ma miarę

40°

, a kąt

O B C

ma miarę

10°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta

A C O

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

40°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

2 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

o bokach długości

6

,

7

oraz

8

.

Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

cos α = \frac{1}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

W trójkącie

A B C

bok

A B

ma długość

4

, a bok

B C

ma długość

4, 6

. Dwusieczna kąta

A B C

przecina bok

A C

w punkcie

D

takim, że

∣ A D ∣ = 3, 2

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinek

C D

ma długość

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{92}{25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

4 pkt

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:

przychód $P$ (w złotych) z tygodniowej sprzedaży $x$ wiatraków można opisać funkcją $P (x) = 251 x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją $K (x) = x^{2} + 21 x + 170$ .

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej

150

wiatraków.

Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 115

,

Z (115) = 13055

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24.1

1 pkt

Firma

F

zatrudnia

160

osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano miesięczną płacę brutto (w złotych), a na osi pionowej liczbę pracowników firmy

F

, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia miesięczna płaca brutto w firmie

F

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

4593, 75

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24.2

1 pkt

Firma

F

zatrudnia

160

osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano miesięczną płacę brutto (w złotych), a na osi pionowej liczbę pracowników firmy

F

, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy

F

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

4800

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24.3

1 pkt

Firma

F

zatrudnia

160

osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano miesięczną płacę brutto (w złotych), a na osi pionowej liczbę pracowników firmy

F

, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba pracowników firmy

F

, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa

5000

zł, stanowi (w zaokrągleniu do

1%

)

Poprawna odpowiedź

A.

91%

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

3 pkt

Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość

103

, a każda jego krawędź boczna ma długość

15

.

Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

H = 55

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n

liczba

10 n^{2} + 30 n + 8

przy dzieleniu przez

5

daje resztę

3

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Liczba

5 (2 n^{2} + 6 n + 1) + 3

przy dzieleniu przez

5

daje resztę

3

.

Rozwiązanie krok po kroku