Matura rozszerzona maj 2025 (F. 2015)

. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności i pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

147

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = \frac{1}{2} a

, prawdziwa jest nierówność

(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2}

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

W trójkącie równobocznym

A B C

punkt

D

leży na boku

B C

. Stosunek pola trójkąta

A B D

do pola trójkąta

A D C

jest równy

\frac{3 - 1}{2}

.
Wykaż, że miara kąta

D A C

jest równa

4 5^{\circ}

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.

Poprawna odpowiedź

\frac{9}{25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x - 2∣ - 2 \cdot ∣ x + 3∣ < - 2

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - 10) \cup (- \frac{2}{3}, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu

a_{1} + a_{3} = 20

a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 328

.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.

Poprawna odpowiedź

S = \frac{27}{2}

lub

S = 27

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są okręgi

O_{1}

oraz

O_{2}

o równaniach:

$O_{1} : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$
$O_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45$ .

Te okręgi przecinają się w punktach

A

oraz

B

. Punkt

A

ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt

M

spełnia warunek

A M = - 2 \cdot B M

.
Oblicz współrzędne punktów

A

B

oraz

M

Poprawna odpowiedź

A = (\frac{16}{5}, - \frac{13}{5})

B = (- 1, - 2)

M = (\frac{2}{5}, - \frac{11}{5})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

5 pkt

Rozwiąż równanie

3 cos^{2} x + 3 sin (2 x) - 3 sin^{2} x = 0

w przedziale

⟨ - π, π ⟩

Poprawna odpowiedź

x \in {- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

5 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

. Krawędź boczna

S A

jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość

334

. Cosinus kąta

β

między ścianami bocznymi

C D S

B C S

tego ostrosłupa jest równy

(- \frac{9}{25})

.
Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Poprawna odpowiedź

918

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

6 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = (2 - m) x^{2} - 2 (2 m + 1) x + m + 8

dla każdej liczby rzeczywistej

x

, gdzie

m

jest liczbą rzeczywistą różną od

2

.
Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dokładnie dwa miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

tego samego znaku, które spełniają warunek

(x_{1} - x_{2})^{2} \leq 180

Poprawna odpowiedź

m \in (- 8, - 3) \cup (1, \frac{3}{2} ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.1

2 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
a) Wykaż, że objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.2

4 pkt

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od

5

, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa

5

.
b) Objętość

V

stożka, jako funkcja wysokości

h

stożka, wyraża się wzorem

V (h) = \frac{π}{3} \cdot \frac{25 h ^{3}}{h ^{2} - 25}

dla

h \in (5, + \infty)

.
Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość.

Poprawna odpowiedź

h = 53

V = \frac{125 3 π}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie