Matura rozszerzona maj 2024 (F. 2015)

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Odległość punktu

A = (6, 2)

od prostej o równaniu

5 x - 12 y + 1 = 0

jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{7}{13}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Równanie

∣2 x - 4∣ = 3 x + 1

w zbiorze liczb rzeczywistych

Poprawna odpowiedź

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x + 2)^{3} + 5

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

⟨ 0, + \infty)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Granica

x \to + \infty lim \frac{1 + 3 a + 2 a x + a x ^{3}}{3 + 4 x + 5 x ^{2} + 5 x ^{3}}

jest równa

3

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

a = 15

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Wielomian

W (x) = 8 x^{3} + 14 x^{2} + 5 x + 3

jest iloczynem wielomianów

P (x) = 2 x + 3

oraz

Q (x) = a x^{2} + b x + c

.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – wartości współczynników

a

b

oraz

c

Poprawna odpowiedź

411

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Wykaż, że jeżeli

lo g_{5} 4 = a

oraz

lo g_{4} 3 = b

, to

lo g_{12} 80 = \frac{2 a + 1}{a \cdot ( 1 + b )}

Poprawna odpowiedź

lo g_{12} 80 = \frac{2 a + 1}{a \cdot ( 1 + b )}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Dany jest czworokąt wypukły

A B C D

. Przekątne

A C

oraz

B D

tego czworokąta przecinają się w punkcie

S

.
Wykaż, że jeżeli

\frac{∣ A S ∣}{∣ D S ∣} = \frac{∣ B S ∣}{∣ C S ∣}

, to na czworokącie

A B C D

można opisać okrąg.

Poprawna odpowiedź

Na czworokącie

A B C D

można opisać okrąg.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.
Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.

Poprawna odpowiedź

11040

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{3} - 3 x + 2}{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od zera. Punkt

P

, o pierwszej współrzędnej równej

2

, należy do wykresu funkcji

f

. Prosta o równaniu

y = a x + b

jest styczna do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

.
Oblicz współczynniki

a

oraz

b

w równaniu tej stycznej.

Poprawna odpowiedź

a = \frac{7}{2}

b = - 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

3 pkt

Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

, losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo prawdopodobne.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która ma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą – w podanej kolejności – sześciowyrazowy ciąg malejący.

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{7}{65536}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa

105

. Liczby

x

y

oraz

z

są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Oblicz

x

y

oraz

z

Poprawna odpowiedź

x = 5

y = 20

z = 80

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (2 x) + cos (2 x) = 1 + sin x - cos x

w zbiorze

⟨ 0, 2 π ⟩

Poprawna odpowiedź

x \in {\frac{π}{4}, \frac{7 π}{6}, \frac{5 π}{4}, \frac{11 π}{6}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

4 pkt

Promień okręgu opisanego na trójkącie

A B C

jest równy

17

. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok

A C

, a długości dwóch pozostałych boków są równe

∣ A B ∣ = 30

oraz

∣ B C ∣ = 17

. Oblicz miarę kąta

B A C

oraz długość boku

A C

tego trójkąta.

Poprawna odpowiedź

∣ ∢ B A C ∣ = 3 0^{\circ}

∣ A C ∣ = 153 + 8

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

5 pkt

Środek

S

okręgu o promieniu

5

leży na prostej o równaniu

y = x + 1

. Przez punkt

A = (1, 2)

, którego odległość od punktu

S

jest większa od

5

, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

B

C

. Pole czworokąta

A B S C

jest równe

15

.
Oblicz współrzędne punktu

S

. Rozważ wszystkie przypadki.

Poprawna odpowiedź

S = (6, 7)

lub

S = (- 4, - 3)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (3 m + 1) \cdot x + 2 m^{2} + m + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + 3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2} - 3) \leq 3 m - 7

Poprawna odpowiedź

m \in (- \infty, - 3)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16.1

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

3456

, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż

83

.

Wykaż, że pole

P

powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Poprawna odpowiedź

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16.2

4 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości

3456

, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż

83

.

Pole

P

powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

P (a) = \frac{a ^{2} \cdot 3}{2} + \frac{13824 3}{a}

dla

a \in (0, 83 ⟩

.
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Poprawna odpowiedź

a = 83

P = 963 + 1728

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie