Matura rozszerzona marzec 2021

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Liczba

lo g_{2} 9

jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{lo g _{3} 2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest

10

kul:

8

białych i

2

czarne, w drugiej jest

8

kul:

5

białych i

3

czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

Poprawna odpowiedź

\frac{8}{23}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Prosta dana równaniem

y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

jest prostopadła do stycznej do wykresu funkcji

f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} + x + 5

w punkcie

Poprawna odpowiedź

(1, 5)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

x

jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym

1

i ilorazie

\frac{1}{3}

. Liczba

y

jest sumą wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym

1

i ilorazie

(- \frac{1}{3})

.
Wynika stąd, że liczba

x - y

jest równa

Poprawna odpowiedź

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa

13

i żadna cyfra nie jest zerem.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

220

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

większej od

2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2} - 2 x - 4 > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Lewą stronę nierówności zapisujemy w postaci

3 (x - y)^{2} + 2 (x + 1) (x - 2)

, będącej sumą liczby nieujemnej i liczby dodatniej dla

x > 2

, co dowodzi nierówności.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

4 pkt

Rozwiąż równanie:

sin (x + \frac{1}{4} π) \cdot cos (x + \frac{1}{4} π) = \frac{2}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{1}{8} π + k π

lub

x = \frac{1}{8} π + k π

, gdzie

k \in Z

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

4 pkt

Na przeciwprostokątnej

A B

trójkąta prostokątnego

A B C

zbudowano kwadrat

A B D E

(zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy

k

.

Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa

\frac{1}{2 k}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

tg α + tg β = \frac{1}{2 k}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

Czworokąt

A B C D

jest wpisany w okrąg o promieniu

R = 52

. Przekątna

B D

tego czworokąta ma długość

10

. Kąty wewnętrzne

B A D

A D C

czworokąta

A B C D

są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy

\frac{3}{8}

. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣∠ B A D ∣ = 45°

∣∠ A B C ∣ = 120°

∣∠ B C D ∣ = 135°

∣∠ C D A ∣ = 60°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Reszty z dzielenia wielomianu

W (x) = x^{4} + b x^{3} + c x^{2}

przez dwumiany

(x - 2)

(x - 3)

są odpowiednio równe

(- 8)

oraz

(- 18)

. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu

W

przez dwumian

(x - 4)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

W (4) = 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

4 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny

A B C D E F

. Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość

4

, a wysokość graniastosłupa jest równa

6

(zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta

A F B

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

sin ∣∠ A F B ∣ = \frac{4 3}{13}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

Czterowyrazowy ciąg

(a, b, c, d)

jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg

(a + 100, b, c)

jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu

(a, b, c, d)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = - 36, b = 144, c = 324, d = 504

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

5 pkt

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach:

y = x + b

y = x + 2 b

y = b

y = 2

, gdzie liczba rzeczywista

b

spełnia warunki:

b \neq = 2

b \neq = 0

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

b

, dla których pole tego równoległoboku jest równe

1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

b \in {1 - 2, 1, 1 + 2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

x^{2} - 2 a x + a^{3} - 2 a = 0

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a \in (2, 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

6 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołki

A

B

leżą na wykresie funkcji

f

określonej wzorem

f (x) = \frac{9}{x ^{4}}

dla

x \neq = 0

. Punkt

C

ma współrzędne

(0, - \frac{1}{3})

, a punkty

A

B

są położone symetrycznie względem osi

O y

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne wierzchołków

A

B

, dla których pole trójkąta

A B C

jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

A = (3, \frac{1}{9}), B = (- 3, \frac{1}{9}), P_{min} = \frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku