Wektory veca = [m-2, m+2] oraz vecb = [m^(1,5), 2^(1,5)] mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Zadanie 3 - Matura rozszerzona 2021 (czerwiec) - Rozwiązanie

1 pkt

Wektory

a = [m - 2, m + 2]

oraz

b = [m^{1, 5}, 2^{1, 5}]

mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Poprawna odpowiedź

m = 0

lub

m = 2

Zapisujemy warunek równości długości wektorów, korzystając ze wzoru na długość wektora $[x, y]$ : $∣ v ∣ = x^{2} + y^{2}$ :
$(m - 2)^{2} + (m + 2)^{2} = (m^{1, 5})^{2} + (2^{1, 5})^{2}$
Upraszczamy obie strony równania:
$(m - 2)^{2} + (m + 2)^{2} = 2 m^{2} + 8 (m^{1, 5})^{2} + (2^{1, 5})^{2} = m^{3} + 8$
Otrzymujemy równanie:
$2 m^{2} + 8 = m^{3} + 8 m^{3} - 2 m^{2} = 0 m^{2} (m - 2) = 0$
Stąd $m = 0$ lub $m = 2$ . Oba rozwiązania spełniają warunek $m \geq 0$ , potrzebny, aby wyrażenie $m^{1, 5}$ było określone.

Matura rozszerzona czerwiec 2022, zadanie 3Sumą wektorów veca = [2+2m, 2/3n+1] oraz vecb = [n+1, m+2] jest wektor vecc = [0, 0]. Wynika stąd, że
Matura rozszerzona czerwiec 2026, zadanie 13.1W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0),…
Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015), zadanie 16.1W układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B…
Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 7W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są: okrąg o równaniu (x + 1)² + (y - 3)² = 50 i punkty A =…
Matura rozszerzona maj 2021, zadanie 10Prosta przechodząca przez punkty A = (8, -6) i B = (5, 15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O = (0,…
Matura rozszerzona maj 2021, zadanie 14.1Dane są parabola o równaniu y=x² oraz punkty A=(0,2) i B=(1,3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie…