Wektory veca = [m-2, m+2] oraz vecb = [m^(1,5), 2^(1,5)] mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

Zadanie 3, matura rozszerzona czerwiec 2021

1 pkt

Wektory

a = [m - 2, m + 2]

oraz

b = [m^{1, 5}, 2^{1, 5}]

mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy

m = 0

lub

m = 2

1
Zapisujemy warunek równości długości wektorów, korzystając ze wzoru na długość wektora $[x, y]$ : $∣ v ∣ = x^{2} + y^{2}$ :
$(m - 2)^{2} + (m + 2)^{2} = (m^{1, 5})^{2} + (2^{1, 5})^{2}$
2
Upraszczamy obie strony równania:
$(m - 2)^{2} + (m + 2)^{2} = 2 m^{2} + 8 (m^{1, 5})^{2} + (2^{1, 5})^{2} = m^{3} + 8$
3
Otrzymujemy równanie:
$2 m^{2} + 8 = m^{3} + 8 m^{3} - 2 m^{2} = 0 m^{2} (m - 2) = 0$
4
Stąd $m = 0$ lub $m = 2$ . Oba rozwiązania spełniają warunek $m \geq 0$ , potrzebny, aby wyrażenie $m^{1, 5}$ było określone.