Matura rozszerzona czerwiec 2019

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Parametr

m

dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

(4 - m^{2}) \cdot x = m^{2} - 3 m + 2

z niewiadomą

x

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

m = 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Dane są trzy niewspółliniowe punkty:

A = (1, 1)

B = (6, 3)

C = (4, 5)

. Ile jest wszystkich punktów

D

takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach

A

B

C

D

jest równoległobokiem?

Poprawna odpowiedź

3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Wiadomo, że wielomian

15 x^{5} - 133 x^{4} + 383 x^{3} - 499 x^{2} + 146 x + 120

ma w zbiorze

{\frac{7}{6}, \frac{6}{5}, \frac{8}{7}, \frac{9}{5}}

dokładnie jeden pierwiastek wymierny. Jest nim liczba

Poprawna odpowiedź

\frac{6}{5}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony w następujący sposób:

a_{1} = \frac{3}{5}

oraz

a_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot a_{n}

dla

n ⩾ 1

. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{9}{5}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

W urnie znajduje się

16

kul, które mogą się różnić wyłącznie kolorem. Wśród nich jest

10

kul białych i

6

kul czarnych. Z tej urny losujemy dwukrotnie jedną kulę bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.
Wpisz w poniższe kratki – od lewej do prawej – trzy kolejne cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

3, 7, 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy

28

Poprawna odpowiedź

147

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

2 pkt

Dana jest funkcja

f

określona wzorem

f (x) = \frac{25 x ^{2} - 9}{x ^{2} + 2}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Oblicz wartość

f^{'} (10)

pochodnej tej funkcji dla argumentu

10

Poprawna odpowiedź

f^{'} (10) = \frac{295}{2601}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Dwusieczne kątów

B A D

B C D

czworokąta wypukłego

A B C D

przecinają się w punkcie

E

, przy czym punkty

B

E

leżą po przeciwnych stronach prostej

A C

(zobacz rysunek).
Wykaż, że

∣ ∡ A B C ∣ - ∣ ∡ A D C ∣ + 2 \cdot ∣ ∡ A E C ∣ = 360°

Poprawna odpowiedź

Z sumy kątów czworokątów

A B C E

A E C D

po odjęciu stronami:

∣ ∡ A B C ∣ - ∣ ∡ A D C ∣ + 2 \cdot ∣ ∡ A E C ∣ = 360°

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby nieparzystej

n

wyrażenie

n^{5} - 3 n^{4} - n + 19

jest podzielne przez

16

Poprawna odpowiedź

Wyrażenie jest równe

(n - 1) (n + 1) (n^{2} + 1) (n - 3) + 16

, a iloczyn czterech liczb parzystych jest podzielny przez

16

, więc całe wyrażenie jest podzielne przez

16

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Miara kąta wewnętrznego

n

-kąta foremnego jest o

2°

mniejsza od miary kąta wewnętrznego

(n + 2)

-kąta foremnego. Oblicz

n

Poprawna odpowiedź

n = 18

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

6 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego

A B C S

jest trójkąt równoboczny

A B C

o boku długości

6

. Na krawędziach bocznych

B S

C S

wybrano punkty, odpowiednio

D

E

, takie że

∣ B D ∣ = ∣ C E ∣

oraz

∣ D E ∣ = 4

(zobacz rysunek). Płaszczyzna

A D E

jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej

B C S

ostrosłupa.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Poprawna odpowiedź

V = 182

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} + (2 - 4 m) x + m^{2} - m - 2 = 0

ma dwa różne dodatnie rozwiązania

x_{1}

x_{2}

spełniające nierówność

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq \frac{17}{4}

Poprawna odpowiedź

m \in (2, 3 ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

6 pkt

Punkt

A = (- 2, 6)

jest wierzchołkiem rombu

A B C D

o polu

90

. Przekątna

B D

zawiera się w prostej

l

o równaniu

2 x - y - 5 = 0

. Wyznacz długość boku tego rombu.

Poprawna odpowiedź

310

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

4 pkt

Rozwiąż równanie

4 sin 7 x cos 2 x = 2 sin 9 x - 1

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

Poprawna odpowiedź

x = \frac{7 π}{30}

x = \frac{11 π}{30}

x = \frac{19 π}{30}

x = \frac{23 π}{30}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

7 pkt

Dany jest okrąg o środku

S

i promieniu

18

. Rozpatrujemy pary okręgów: jeden o środku

S_{1}

i promieniu

x

oraz drugi o środku

S_{2}

i promieniu

2 x

, o których wiadomo, że spełniają jednocześnie następujące warunki:

rozważane dwa okręgi są styczne zewnętrznie;
obydwa rozważane okręgi są styczne wewnętrznie do okręgu o środku $S$ i promieniu $18$ ;
punkty: $S$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ nie leżą na jednej prostej.

Pole trójkąta o bokach

a

b

c

można obliczyć ze wzoru Herona

P = p (p - a) (p - b) (p - c)

, gdzie

p

- jest połową obwodu trójkąta.

Zapisz pole trójkąta

S S_{1} S_{2}

jako funkcję zmiennej

x

. Wyznacz dziedzinę tej funkcji i oblicz długości boków tego z rozważanych trójkątów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Poprawna odpowiedź

P (x) = 108 x^{2} (6 - x)

x \in (0, 6)

; boki:

∣ S S_{1} ∣ = 14

∣ S S_{2} ∣ = 10

∣ S_{1} S_{2} ∣ = 12

;

P_{m a x} = 246

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie