Matura podstawowa czerwiec 2018, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Dla

x = \frac{2}{2} + 1

oraz

y = 2 - 1

wartość wyrażenia

x^{2} - 2 x y + y^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Dane są liczby:

a = lo g_{\frac{1}{2}} 8, b = lo g_{4} 8, c = lo g_{4} \frac{1}{2}

. Liczby te spełniają warunek

Poprawna odpowiedź

D.

b > c > a

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Wskaż liczbę spełniającą nierówność

(4 - x) (x + 3) (x + 4) > 0

.

Poprawna odpowiedź

D.

- 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o

10%

w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje

1944

złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

Poprawna odpowiedź

C.

2400

złotych

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Na rysunku przedstawiony jest przedział

(- 10, k ⟩

, gdzie

k

jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa

21

.
Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

B.

k = 11

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Równanie

x - \frac{1}{2 x + 1} = 0

Poprawna odpowiedź

A. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

1 pkt

Liczbę

\frac{224}{1111}

można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

Poprawna odpowiedź

D.

6

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

1 pkt

Liczba

\frac{8 ^{20} - 2 \cdot 4 ^{20}}{2 ^{20} \cdot 4 ^{10}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

2^{20} - 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = - 2 (x + 2)^{- 1} (x - 3)^{2}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = - 2

. Wartość funkcji

f

dla argumentu

2

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

- \frac{1}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

1 pkt

Największą wartością funkcji

y = - (x - 2)^{2} + 4

w przedziale

⟨ 3, 5 ⟩

jest

Poprawna odpowiedź

B.

3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = (1 - m^{2}) x + m - 1

nie ma miejsc zerowych dla

Poprawna odpowiedź

C.

m = - 1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

1 pkt

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem

f (x) = - (x - 1) (3 - x)

. Wskaż ten rysunek.

A.

B.

C.

D.

Poprawna odpowiedź

D.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

1 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

określonego dla

n \geq 1

są dodatnie i

3 a_{2} = 2 a_{3}

. Stąd wynika, że iloraz

q

tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

q = \frac{3}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

1 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = 16 - \frac{1}{2} \cdot n

dla każdej liczby całkowitej

n \geq 1

. Różnica

r

tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

r = - \frac{1}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

1 pkt

Liczba

1 - tg 40°

jest

Poprawna odpowiedź

C.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

1 pkt

Odcinek

A B

jest średnicą okręgu o środku

O

i promieniu

r

. Na tym okręgu wybrano punkt

C

, taki, że

∣ O B ∣ = ∣ B C ∣

(zobacz rysunek).
Pole trójkąta

A O C

jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{3}{4} r^{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

1 pkt

Okrąg o środku

S_{1} = (2, 1)

i promieniu

r

oraz okrąg o środku

S_{2} = (5, 5)

i promieniu

4

są styczne zewnętrznie. Wtedy

Poprawna odpowiedź

A.

r = 1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

1 pkt

Długości boków trapezu równoramiennego są równe

12

,

13

,

2

,

13

.
Wysokość

h

tego trapezu jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

12

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

1 pkt

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku

2 : 3 : 3 : 4

. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Poprawna odpowiedź

A.

60°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa

27 π

. Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

1 pkt

Stożek o promieniu podstawy

r

i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

Wśród 100 osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Liczba książek	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba osób	$23$	$14$	$28$	$17$	$11$	$7$

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku 15. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

9

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

1 pkt

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry 0 i 2, jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

1 pkt

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{1}{4}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 x (1 - x) + 1 - x < 0

.

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

2 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = x^{2} + b x + c

jest parabola, na której leży punkt

A = (0, - 5)

. Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu

x = 7

. Oblicz wartości współczynników

b

i

c

.

Poprawna odpowiedź

b = - 14

,

c = - 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

2 pkt

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez

8

jest równa

6

.

Poprawna odpowiedź

Suma kwadratów ma postać

4 (n + 1) (n + 2) + 6

, a pierwszy składnik dzieli się przez

8

, więc reszta jest równa

6

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29

2 pkt

Dany jest prostokąt

A B C D

. Na boku

C D

tego prostokąta wybrano taki punkt

E

, że

∣ E C ∣ = 2∣ D E ∣

, a na boku

A B

wybrano taki punkt

F

, że

∣ B F ∣ = ∣ D E ∣

. Niech

P

oznacza punkt przecięcia prostej

E F

z prostą

B C

(zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty

A E D

i

F P B

są przystające.

Poprawna odpowiedź

Trójkąty

A E D

i

F P B

są przystające na mocy cechy kąt-bok-kąt.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

2 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α + cos α = 2

. Oblicz wartość wyrażenia

tg α + \frac{1}{tg α}

.

Poprawna odpowiedź

2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31

2 pkt

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od

0

do

4

) i liczbę uzyskanych reszek (również od

0

do

4

). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

Poprawna odpowiedź

\frac{5}{16}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 32

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości

H = 16

. Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

\frac{3}{5}

. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Poprawna odpowiedź

P_{b} = 9641

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33

4 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla liczb naturalnych

n \geq 1

, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

S_{10} = \frac{15}{4}

. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Poprawna odpowiedź

a_{1} = - \frac{3}{4}

,

r = \frac{1}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 34

4 pkt

Punkty

A = (- 1, 1)

i

C = (1, 9)

są wierzchołkami trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Podstawa

A B

tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu

y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

. Oblicz współrzędne wierzchołka

B

tego trójkąta.

Poprawna odpowiedź

B = (\frac{43}{5}, \frac{29}{5})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie