Matura podstawowa sierpień 2023 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

lo g_{25} 1 - \frac{1}{2} lo g_{25} 5

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- \frac{1}{4})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

345 - 20

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

W ramach wyprzedaży sezonowej płaszcz o początkowej wartości

240

zł przeceniono na

200

zł. Zatem cenę tego płaszcza obniżono o

Poprawna odpowiedź

A.

16 \frac{2}{3} %

jego początkowej wartości.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Wartość wyrażenia

\frac{3 ^{- 1}}{( - \frac{1}{9} ) ^{- 2}} \cdot 81

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{1}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Wartość wyrażenia

(2 - 3)^{2} - (3 - 2)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

, punkt

(- 8, 6)

jest punktem przecięcia prostych o równaniach

Poprawna odpowiedź

D.

x - y = - 14

i

- 2 x + y = 22

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

- 3 (x - 1) \leq \frac{5 - 3 x}{3}

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

⟨ \frac{2}{3}, \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Równanie

(x^{2} - 3 x) (x^{2} + 1) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

B. dwa rozwiązania.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja

f

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f (x) = \frac{x - k}{x ^{2} + 1}

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek

f (1) = 2

.
Wartość współczynnika

k

we wzorze tej funkcji jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- 3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

jest liczba

1

. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt

(- 1, 4)

. Wzór funkcji

f

ma postać

Poprawna odpowiedź

C.

f (x) = - 2 x + 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (x - 13)^{2} - 256

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

(- 3)

.
Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Poprawna odpowiedź

D.

29

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Informacja do zadań 12.–13.
W układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Funkcja

f

jest rosnąca w przedziale

Poprawna odpowiedź

B.

⟨ 5, 7 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Informacja do zadań 12.–13.
W układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Funkcja

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (- x)

dla każdego

x \in ⟨ - 7, - 5 ⟩ \cup ⟨ - 4, 4 ⟩ \cup ⟨ 5, 7 ⟩

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w układzie współrzędnych

(x, y)

, wykres funkcji

y = g (x)

.
Wykres funkcji

y = g (x)

przedstawiono na rysunku

A.

B.

C.

D.

Poprawna odpowiedź

B.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

, określona wzorem

f (x) = - (x - 1) (x - 5)

, przyjmuje wartość

Poprawna odpowiedź

D. największą równą

4

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{n + 1}{2}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

(- 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Czterowyrazowy ciąg

(- 2, 1, x, y)

jest geometryczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- \frac{5}{4})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Koło ma promień równy

3

. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym

30°

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{1}{2} π + 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

cos α = \frac{2 6}{7}

. Sinus kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{5}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

W okręgu

O

kąt środkowy

β

oraz kąt wpisany

α

są oparte na tym samym łuku. Kąt

β

ma miarę o

40°

większą od kąta

α

. Miara kąta

β

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

80°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Pole trójkąta równobocznego o wysokości

3

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

33

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Każdy z kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego ma miarę

Poprawna odpowiedź

C.

144°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Obwód trójkąta prostokątnego

A B C

jest równy

L

. Na boku

C B

tego trójkąta obrano punkt

E

, a na boku

A B

obrano punkt

D

tak, że

D E ∥ A C

oraz

∣ A D ∣ : ∣ D B ∣ = 3 : 4

(zobacz rysunek).
Obwód trójkąta

B E D

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{4}{7} L

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są prosta

k

o równaniu

y = \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}

oraz punkt

P = (12, - 1)

.

Prosta przechodząca przez punkt

P

i równoległa do prostej

k

ma równanie

Poprawna odpowiedź

B.

y = \frac{3}{4} x - 10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

A = (- 1, - 4)

jest wierzchołkiem równoległoboku

A B C D

. Punkt

S = (2, 2)

jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Długość przekątnej

A C

równoległoboku

A B C D

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

65

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą

6

.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

216 + 1083

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą

6

.

Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{2}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy

12

. Wynika stąd, że w tym ostrosłupie stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.
Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

5690

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

Poprawna odpowiedź

D.

9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Rozwiąż nierówność

5 - x^{2} > 3 x + 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- 4, 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Ciąg

(3 x^{2} + 5 x, x^{2}, 20 - x^{2})

jest arytmetyczny. Oblicz

x

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

y

takiej, że

x > 2 y

, prawdziwa jest nierówność

x^{2} + 3 x y - 10 y^{2} > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Wykazaliśmy, że

(x - 2 y) (x + 5 y) > 0

, czyli

x^{2} + 3 x y - 10 y^{2} > 0

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

Dany jest trapez równoramienny

A B C D

, w którym podstawa

C D

ma długość

6

, ramię

A D

ma długość

4

, a kąty

B A D

oraz

A B C

mają miarę

60°

(zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = 163

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

Rozwiąż równanie

\frac{2 x - 3}{3 x - 2} = \frac{1}{2 x}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{1}{4}

lub

x = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

2 pkt

Ze zbioru pięciu liczb

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{3}{10}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 36

5 pkt

Punkty

A = (\frac{22}{5}, - \frac{21}{5})

,

B = (6, 7)

oraz

C = (- 9, 2)

są wierzchołkami trójkąta

A B C

.
Symetralna boku

A B

tego trójkąta przecina bok

B C

w punkcie

D

.
Oblicz współrzędne punktu

D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

D = (- 6, 3)

Rozwiązanie krok po kroku