Matura rozszerzona czerwiec 2024 (F. 2015)

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Liczba

8 1^{\frac{3 \cdot l o g 6}{l o g 27}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

1296

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

(2 - 43)^{3} - (2 + 43)^{3}

jest równa

Poprawna odpowiedź

(- 4803)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

W trójkącie

A B C

bok

A B

ma długość

46

. Ponadto

∣ ∢ B A C ∣ = α

∣ ∢ A B C ∣ = β

oraz

sin (α + β) = \frac{2 6}{7}

.
Długość okręgu opisanego na trójkącie

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

14 π

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{3} + 4 x^{2} - 9

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Prosta o równaniu

y = a x + b

jest styczna do wykresu funkcji

f

w punkcie

P = (- 2, - 9)

.
Współczynnik

a

w równaniu tej stycznej jest równy

Poprawna odpowiedź

8

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Granica

n \to + \infty lim \frac{15 n + 24}{2 \cdot 3 n ^{2} + 4 n - 2}

istnieje i jest skończona. Oblicz tę granicę.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

433

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy.

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{15}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

a

i każdej liczby dodatniej

b

takich, że

a + b = 1

, prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}

Poprawna odpowiedź

(2 a - 1)^{2} \geq 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Długości podstaw trapezu równoramiennego są równe

a

oraz

b

, przy czym

a > b

. W ten trapez można wpisać okrąg.
Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od

a \cdot b

Poprawna odpowiedź

P = \frac{a + b}{2} \cdot ab > ab

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

o numerach nieparzystych jest równa

16

, tj.

a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots = 16

Ponadto

a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2} \cdot a_{2}

.
Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

Poprawna odpowiedź

a_{n} = 12 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

W okrąg o promieniu

4

wpisano trójkąt

A B C

. Długość boku

A B

jest równa

6

. Bok

B C

ma długość

43

i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku

A C

trójkąta

A B C

Poprawna odpowiedź

∣ A C ∣ = 21 - 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (6 x) + 3 \cdot sin (5 x) + sin (4 x) = 0

Poprawna odpowiedź

x = \frac{k π}{5}

lub

x = - \frac{5}{6} π + 2 k π

lub

x = \frac{5}{6} π + 2 k π

, gdzie

k \in Z

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

4 pkt

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa

a

. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy

\frac{11}{6}

.
Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Poprawna odpowiedź

P = \frac{3 a ^{2}}{2} + 32 a^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

6 pkt

Prosta o równaniu

3 x + y + 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = x^{2} - 2 x - 8

w punktach

A

oraz

B

, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku

A B C D

. Wierzchołek

A

ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - \frac{1}{2} x + 1

i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu

C

od prostej zawierającej bok

A B

równoległoboku jest równa

\frac{9 10}{5}

.
Oblicz długość boku

B C

tego równoległoboku.

Poprawna odpowiedź

∣ B C ∣ = 213

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(3 - m) \cdot x^{2} + (m + 1) \cdot x - (m + 1)^{2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} \cdot x_{2} + 7

Poprawna odpowiedź

m \in {1, \frac{- 3 - 2 42}{3}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.1

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość

10

. Niech

x

oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

a) Wykaż, że pole

P

trapezu jako funkcja długości

x

odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem

P (x) = x \cdot 100 - x^{2}

Poprawna odpowiedź

P (x) = x \cdot 100 - x^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.2

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość

10

. Niech

x

oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu. Pole

P

trapezu jako funkcja długości

x

tego odcinka jest określone wzorem

P (x) = x \cdot 100 - x^{2}

b) Wyznacz dziedzinę funkcji

P (x)

Poprawna odpowiedź

x \in (0, 10)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.3

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość

10

. Niech

x

oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu. Pole

P

trapezu jako funkcja długości

x

tego odcinka jest określone wzorem

P (x) = x \cdot 100 - x^{2}

dla

x \in (0, 10)

.

c) Oblicz długość

x

odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Poprawna odpowiedź

x = 52

P = 50

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie