Matura podstawowa czerwiec 2024, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

2^{- 1} \cdot 3 2^{\frac{3}{5}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

lo g_{3} (\frac{3}{2}) + lo g_{3} (\frac{2}{9})

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

(- 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

(210 + 2)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

42 + 85

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości

K_{0}

zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

6%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

K_{0} \cdot (1, 06)^{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

5 n^{3} - 5 n

jest podzielna przez

30

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

5 n^{3} - 5 n = 5 n (n - 1) (n + 1)

, iloczyn podzielny przez

2

,

3

i

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności

\frac{3 x - 5}{12} < \frac{1}{3}

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Układ równań

{x - 2 y = 3 - 4 x + 8 y = - 12

Poprawna odpowiedź

D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od:

(- 1)

,

0

i

1

, wartość wyrażenia

\frac{2 x ^{2}}{x ^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x}

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{2 x}{x - 1}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Wielomian

W (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

jest iloczynem wielomianów

F (x) = (2 - 3 x)^{2}

oraz

G (x) = 3 x - 2

.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Suma

a + b + c + d

współczynników wielomianu

W

jest równa ……… .

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a + b + c + d = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

3 pkt

Rozwiąż równanie

4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 3 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{1}{2} \lor x = \frac{1}{2} \lor x = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.1

1 pkt

Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z prostą o równaniu

y = 2

ma obie współrzędne całkowite.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) \leq 2

jest przedział ……………………… .

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

[0, 4]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.2

1 pkt

Na rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

g

, powstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji

f

wzdłuż osi

O x

o

4

jednostki w lewo.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.

Funkcje

f

i

g

są powiązane zależnością

A. $g (x) = f (x + 4)$	oraz mają takie same	1. dziedziny.
B. $g (x) = f (x - 4)$		2. zbiory wartości.
C. $g (x) = f (x) - 4$

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Poprawna odpowiedź

A2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja

y = f (x)

jest określona za pomocą tabeli

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$- 1$	$0$	$1$	$0$	$3$

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe.	P	F
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ wykres funkcji $f$ jest symetryczny względem osi $O y$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Liczba

2

jest miejscem zerowym funkcji liniowej

f (x) = (3 - m) x + 4

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

2 pkt

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych

(x, y)

dokładnie dwa punkty wspólne:

M = (0, 18)

oraz

N = (3, 0)

.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej

f

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = 2 (x - 3)^{2} = 2 x^{2} - 12 x + 18

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.1

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x + 1)^{2} + 4

.

Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, fragment wykresu funkcji

y = f (x)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji

y = f (x)

przedstawiono na rysunku

A.

B.

C.

D.

Poprawna odpowiedź

B.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.2

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - (x + 1)^{2} + 4

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wykres funkcji $f$ przecina oś $O y$ kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ w punkcie o współrzędnych $(0, 4)$ .	P	F
Miejsca zerowe funkcji $f$ są równe: $(- 3)$ oraz $1$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.1

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n + 1} + 5

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

50

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.2

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 \cdot (- 1)^{n + 1} + 5

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest malejący.	P	F
Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, dane są wyrazy:

a_{1} = 7

oraz

a_{2} = 13

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wyraz

a_{10}

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

61

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(- 1, 2, x)

jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg

(- 1, 2, y)

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczby

x

oraz

y

spełniają warunki

Poprawna odpowiedź

B.

x > 0

i

y < 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

1 + cos^{2} 27°

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2 - sin^{2} 27°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Podstawy trapezu prostokątnego

A B C D

mają długości:

∣ A B ∣ = 8

oraz

∣ C D ∣ = 5

. Wysokość

A D

tego trapezu ma długość

3

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

30°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Punkty

A

,

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

. Długość łuku

A B

, na którym jest oparty kąt wpisany

A C B

, jest równa

\frac{1}{5}

długości okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

A C B

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

36°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

2 pkt

Bok kwadratu

A B C D

ma długość równą

12

. Punkt

S

jest środkiem boku

B C

tego kwadratu. Na odcinku

A S

leży punkt

P

taki, że odcinek

B P

jest prostopadły do odcinka

A S

.

Oblicz długość odcinka

B P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ B P ∣ = \frac{12 5}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Do okręgu $O$ należy punkt o współrzędnych $(- 1, - 3)$ .	P	F
Promień okręgu $O$ jest równy $5$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o równaniu

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5

Okrąg

K

jest obrazem okręgu

O

w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

K

jest określony równaniem

Poprawna odpowiedź

D.

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są punkty

A = (2, 8)

oraz

B = (10, 2)

. Symetralna odcinka

A B

przecina oś

O x

układu współrzędnych w punkcie

P

.

Oblicz współrzędne punktu

P

oraz długość odcinka

A P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = (\frac{9}{4}, 0)

,

∣ A P ∣ = \frac{5 41}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Ostrosłup prawidłowy ma

2024

ściany boczne.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

4048

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Przekątna ściany sześcianu ma długość

22

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego sześcianu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości

4

. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

α

takim, że

tg α = 2

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

82

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

3, 12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

2

,

4

,

7

(np.:

7272

,

2222

,

7244

), jest

Poprawna odpowiedź

C.

54

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

1 pkt

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest

18

.
Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe

\frac{3}{5}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa

Poprawna odpowiedź

B.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{5}{12}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32.1

1 pkt

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód

P

ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o

x

zł, wyraża się wzorem

P (x) = (70 - x) (20 + x)

gdzie

x

jest liczbą całkowitą spełniającą warunki

x \geq 0

i

x \leq 60

.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba

x

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32.2

1 pkt

Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód

P

ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o

x

zł, wyraża się wzorem

P (x) = (70 - x) (20 + x)

gdzie

x

jest liczbą całkowitą spełniającą warunki

x \geq 0

i

x \leq 60

.

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E.

Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy

800

zł, gdy liczba

x

jest równa

Poprawna odpowiedź

E.

60

Rozwiązanie krok po kroku