Matura podstawowa lipiec 2020, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Równość

2 + a = \frac{9 a}{2 a + 1}

jest prawdziwa, gdy

Poprawna odpowiedź

C.

a = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

1 - (2^{7} - 1)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

2^{8} - 2^{14}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

lo g_{2} 4^{8}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

32

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Masę Słońca równą

1, 989 \cdot 1 0^{30}

kg przybliżono do

2 \cdot 1 0^{30}

kg. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

0, 011 \cdot 1 0^{30}

kg

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność

\frac{1}{6} - x \geq \frac{2}{3} x + 4

jest

Poprawna odpowiedź

A.

- 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Równanie

\frac{1 - x}{x} = 2 x

w zbiorze liczb całkowitych

Poprawna odpowiedź

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Boki trójkąta

A B C

są zawarte w prostych o równaniach

y = \frac{2}{3} x + 2

i

y = - x + 2

oraz osi

O x

układu współrzędnych (zobacz rysunek).
Pole trójkąta

A B C

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Punkt

P = (- 3, 7)

leży na wykresie funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = (2 m - 1) x + 5

. Zatem

Poprawna odpowiedź

A.

m = \frac{1}{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - x^{2} + 6 x + 4

jest parabola o wierzchołku w punkcie

(3, q)

. Liczba

q

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

13

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja

f

każdej liczbie naturalnej

n \geq 1

przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez

4

. Zbiorem wartości funkcji

f

jest

Poprawna odpowiedź

A.

{0, 1, 2, 3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

.
Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

B.

{a < 0 b > 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Proste o równaniach

y = (m - 2) x

oraz

y = \frac{3}{4} x + 7

są prostopadłe. Wtedy

Poprawna odpowiedź

B.

m = \frac{2}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

a_{4} = 2020

. Suma

a_{2} + a_{6}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

4040

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

oraz

a_{2} = 6

i

a_{5} = - 48

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

B.

a_{7} < 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Punkty

A = (80, - 1)

i

B = (- 6, - 19)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego

A B C

. W tym trójkącie kąt przy wierzchołku

C

jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych

Poprawna odpowiedź

D.

(37, - 10)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

W trapezie prostokątnym

A B C D

są dane długości boków:

∣ A B ∣ = 8

,

∣ B C ∣ = 5

,

∣ D C ∣ = 5

,

∣ A D ∣ = 4

(zobacz rysunek).
Tangens kąta ostrego

A B C

w tym trapezie jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Punkty

A = (1, - 2)

i

C = (0, 5)

są końcami przekątnej kwadratu

A B C D

. Obwód tego kwadratu jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Pole trójkąta równoramiennego jest równe

252

. Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa

45°

. Każde z ramion tego trójkąta ma długość

Poprawna odpowiedź

D.

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym przyprostokątna

B C

ma długość

250

cm, a przyprostokątna

A C

ma długość

91

cm. Miara

β

kąta

A B C

spełnia warunek

Poprawna odpowiedź

A.

19° < β < 21°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Tworząca stożka jest o

2

dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o

2 π

większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równa

144

. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku

2

. Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze

60°

(zobacz rysunek).
Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

26

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od

4

, a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od

6

, jest

Poprawna odpowiedź

C.

5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki:

1, 3, 5, 3

, jest liczba

Poprawna odpowiedź

B.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

W urnie jest

9

kul, w tym cztery kule czerwone, trzy zielone i dwie kule białe. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano ani kuli zielonej, ani białej, jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{4}{9}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

(2 x + 5) (3 x - 1) \geq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{5}{2} ⟩ \cup ⟨ \frac{1}{3}, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Dane są liczby

a = 3 lo g_{2} 12 - lo g_{2} 27

i

b = (6 - 7) (36 + 37)

. Wartością

a - b

jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste

a

i

b

spełniają warunek

a < 4

i

b < 4

, to

ab + 16 > 4 a + 4 b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód: nierówność jest równoważna nierówności

(a - 4) (b - 4) > 0

, która jest prawdziwa.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Bok

A B

jest średnicą, a punkt

S

jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie

A B C

. Punkt

D

leży na tym okręgu, a odcinek

S D

zawarty jest w symetralnej boku

B C

trójkąta (zobacz rysunek).
Wykaż, że odcinek

A D

jest zawarty w dwusiecznej kąta

C A B

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód: kąty wpisane

C A D

i

B A D

są oparte na łukach równej długości, więc są równe.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Dany jest trzywyrazowy ciąg

(x + 2, 4 x + 2, x + 11)

. Oblicz te wszystkie wartości

x

, dla których ten ciąg jest geometryczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 1

lub

x = - \frac{6}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Prosta

k

jest nachylona do osi

O x

pod kątem ostrym

α

, takim, że

cos α = \frac{3}{3}

. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej

k

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

Punkty

A = (1, - 1)

,

B = (6, 1)

,

C = (7, 5)

i

D = (2, 4)

są wierzchołkami czworokąta

A B C D

. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

M = (4 \frac{2}{7}, 2 \frac{2}{7})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

, polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{5}{8}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym

A B C D E F S

, którego krawędź podstawy

a

ma długość

8

(zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

α = 6 0^{\circ}

. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

cos β = \frac{2 13}{13}

Rozwiązanie krok po kroku