Zadanie 28 - Matura podstawowa 2023 (sierpień) - Rozwiązanie

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

A = (- 1, - 4)

jest wierzchołkiem równoległoboku

A B C D

. Punkt

S = (2, 2)

jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej

A C

równoległoboku

A B C D

jest równa

Poprawna odpowiedź

65

Punkt $S$ jest środkiem symetrii równoległoboku, czyli jest środkiem przekątnej $A C$ . Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:
$S = (\frac{x _{A} + x _{C}}{2}, \frac{y _{A} + y _{C}}{2})$
Podstawiamy współrzędne punktów $A = (- 1, - 4)$ i $S = (2, 2)$ i wyznaczamy $x_{C}$ :
$2 = \frac{- 1 + x _{C}}{2} 4 = - 1 + x_{C} x_{C} = 5$
Analogicznie wyznaczamy $y_{C}$ :
$2 = \frac{- 4 + y _{C}}{2} 4 = - 4 + y_{C} y_{C} = 8$
Otrzymujemy $C = (5, 8)$ . Obliczamy długość odcinka $A C$ ze wzoru na odległość dwóch punktów:
$∣ A C ∣ = (x_{C} - x_{A})^{2} + (y_{C} - y_{A})^{2} ∣ A C ∣ = (5 - (- 1))^{2} + (8 - (- 4))^{2} ∣ A C ∣ = 6^{2} + 1 2^{2} ∣ A C ∣ = 36 + 144 = 180 = 65$

Podobne zadania z działu geometria analityczna