Matura rozszerzona grudzień 2024

, aby rozwiązać online.

2 pkt

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością

Q (t) = Q_{0} \cdot β^{- t}

dla

t \geq 0

gdzie:

Q_{0}

– ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (

t = 0

) wyrażony w milikulombach,

Q

– ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili

t

(licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach,

β

– stała dodatnia,

t

– czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili

t = 4

s w kondensatorze był zgromadzony ładunek

2

milikulombów, a w chwili

t = 6

s – ładunek

18

milikulombów.

Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili

t = 5

s. Zapisz obliczenia.

Q (5) = 6

(milikulombów)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

2 pkt

Okrąg

O

jest styczny do boków

A C

B C

trójkąta

A B C

oraz przecina bok

A B

tego trójkąta w punktach

M

oraz

N

,
przy czym

0 < ∣ A M ∣ < ∣ A N ∣ < ∣ A B ∣

.

Wykaż, że jeśli

∣ A M ∣ = ∣ B N ∣

, to trójkąt

A B C

jest równoramienny.

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

3 pkt

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy

123

.
Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe

12 π (3 + 1)

.

Oblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.

V = 18 π 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

3 pkt

Wykaż, że

\frac{1}{lo g _{2} 35 + 1} + \frac{1}{lo g _{7} 140 - lo g _{7} 2} + \frac{1}{lo g _{5} 7 + lo g _{5} 2 + 1} = 1

\frac{1}{lo g _{2} 35 + 1} + \frac{1}{lo g _{7} 140 - lo g _{7} 2} + \frac{1}{lo g _{5} 7 + lo g _{5} 2 + 1} = 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

3 pkt

W pewnej lokalnej społeczności

35%

osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada

70%

osób mających wyższe wykształcenie i

40%

osób bez wyższego wykształcenia.
Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

P (B_{1} ∣ A) \approx 0, 49

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

4 pkt

Rozwiąż równanie

∣4 x - 8∣ + ∣ x - 2∣ = ∣2 - x ∣ + ∣ x + 2∣ + 4

Zapisz obliczenia.

x = \frac{2}{5}

lub

x = \frac{14}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są:
okrąg o równaniu

(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 50

i punkty

A = (6, 4)

oraz

B = (- 6, 8)

.
Punkt

C

leży na tym okręgu i

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

.

Oblicz współrzędne punktu

C

. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

C = (5 - 1, 35 + 3)

lub

C = (- 5 - 1, - 35 + 3)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

4 pkt

Oblicz granicę

n \to + \infty lim \frac{1 + 3 + 5 + 7 + \dots + ( 2 n + 1 )}{( 2 n )}

gdzie

1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2 n + 1)

jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin^{4} x = sin x \cdot cos x - cos^{4} x

w zbiorze

[- π, 2 π]

. Zapisz obliczenia.

x = - \frac{3}{4} π \lor x = \frac{1}{4} π \lor x = \frac{5}{4} π

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

5 pkt

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego

(a_{n})

, określonego dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, spełniają warunek

a_{3} + a_{5} = 10

.

Trzywyrazowy ciąg

(2 a_{1} + 4, a_{4} - 1, - \frac{1}{8} a_{7})

jest geometryczny.

Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.

32, 4, \frac{1}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

5 pkt

Funkcja kwadratowa

f

zmiennej rzeczywistej

x

jest określona wzorem

f (x) = x^{2} - 3 x - m^{2} + m + 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których funkcja

f

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

∣ x_{1}^{2} - x_{2}^{2} ∣ \leq 12

. Zapisz obliczenia.

m \in [\frac{1 - 2 5}{2}, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{1 + 2 5}{2}]

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

5 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

miara kąta

B A C

jest dwa razy większa od miary kąta

A B C

. Punkt

D

jest środkiem boku

A B

. Niech

α

oznacza miarę kąta

A B C

, natomiast

β

- miarę kąta

A D C

(zobacz rysunek).

Oblicz

\frac{tg β}{sin ( 2 α )}

. Zapisz obliczenia.

2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13.1

2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{12 x - 84}{x - 8}

dla każdego

x \in (- \infty, 8)

.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie czworokąty

O B C D

, w których:

• wierzchołek

O

ma współrzędne

(0, 0)

• wierzchołki

B

oraz

D

są punktami przecięcia wykresu funkcji

f

z osią - odpowiednio -

O x

O y

• wierzchołek

C

ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji

f

(zobacz rysunek).

Wykaż, że pole

P

czworokąta

O B C D

w zależności od pierwszej współrzędnej

x

punktu

C

jest określone wzorem

P (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 56}{x - 8}

P (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 56}{x - 8}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13.2

4 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{12 x - 84}{x - 8}

dla każdego

x \in (- \infty, 8)

.

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie czworokąty

O B C D

, w których:

• wierzchołek

O

ma współrzędne

(0, 0)

• wierzchołki

B

oraz

D

są punktami przecięcia wykresu funkcji

f

z osią - odpowiednio -

O x

O y

• wierzchołek

C

ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji

f

(zobacz rysunek).

Pole

P

czworokąta

O B C D

w zależności od pierwszej współrzędnej

x

punktu

C

jest określone wzorem

P (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{x ^{2} - 56}{x - 8}

dla

x \in (0, 7)

.

Oblicz współrzędne wierzchołka

C

, dla których pole czworokąta

O B C D

jest największe. Zapisz obliczenia.

C = (8 - 22, 12 - 32)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie