Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością
Q(t)=Q0⋅β−t dla t≥0
gdzie: Q0 – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (t=0) wyrażony w milikulombach, Q – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili t (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach, β – stała dodatnia, t – czas wyrażony w sekundach.
Wiadomo, że w chwili t=4 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów, a w chwili t=6 s – ładunek 18 milikulombów.
Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili t=5 s. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Q(5)=6 (milikulombów)
Z warunków Q(4)=2 oraz Q(6)=18 zapisujemy dwa równania:
W pewnej lokalnej społeczności 35% osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada 70% osób mających wyższe wykształcenie i 40% osób bez wyższego wykształcenia. Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są: okrąg o równaniu (x+1)2+(y−3)2=50 i punkty A=(6,4) oraz B=(−6,8). Punkt C leży na tym okręgu i ∣AC∣=∣BC∣.
Oblicz współrzędne punktu C. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Funkcja kwadratowa f zmiennej rzeczywistej x jest określona wzorem
f(x)=x2−3x−m2+m+3
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe x1,x2 spełniające warunek ∣x12−x22∣≤12. Zapisz obliczenia.
W trójkącie ostrokątnym ABC miara kąta BAC jest dwa razy większa od miary kąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AB. Niech α oznacza miarę kąta ABC, natomiast β - miarę kąta ADC (zobacz rysunek).
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−812x−84 dla każdego x∈(−∞,8).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których:
• wierzchołek O ma współrzędne (0,0) • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią - odpowiednio - Ox i Oy • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f
(zobacz rysunek).
Wykaż, że pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−812x−84 dla każdego x∈(−∞,8).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD, w których:
• wierzchołek O ma współrzędne (0,0) • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią - odpowiednio - Ox i Oy • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f
(zobacz rysunek).
Pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem
P(x)=421⋅x−8x2−56
dla x∈(0,7).
Oblicz współrzędne wierzchołka C, dla których pole czworokąta OBCD jest największe. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Dzielimy te równania stronami, aby wyeliminować Q0, i wyznaczamy β (jako stałą dodatnią):
182=Q0⋅β−6Q0⋅β−4=β291=β2β=31
Podstawiamy β=31 do pierwszego równania i wyznaczamy Q0:
2=Q0⋅(31)−4⟹Q0=812
Obliczamy Q(5):
Q(5)=812⋅(31)−5=812⋅35=6
W chwili t=5 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 6 milikulombów.
∣AC∣=∣BC∣
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Niech A oznacza zdarzenie, że losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim, B1 – że ma wyższe wykształcenie, a B2 – że nie ma wyższego wykształcenia. Z treści zadania:
P(B1)=0,35,P(B2)=0,65
Prawdopodobieństwa warunkowe władania językiem niemieckim wynoszą:
P(A∣B1)=0,7,P(A∣B2)=0,4
Szukane prawdopodobieństwo obliczamy z twierdzenia Bayesa:
Wyrazy sumy 1+3+5+7+…+(2n+1) tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1=1 i różnicy r=2. Wyznaczamy liczbę wyrazów k tej sumy z wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
ak=a1+(k−1)r2n+1=1+(k−1)⋅2k=n+1
Suma składa się więc z (n+1) wyrazów. Stosujemy wzór na sumę (n+1) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
1+3+5+…+(2n+1)=21+(2n+1)⋅(n+1)=(n+1)2
Zapisujemy symbol Newtona (2n) w postaci ułamka:
(2n)=2n(n−1)
Obliczamy granicę, dzieląc licznik i mianownik przez n2: