Matura podstawowa sierpień 2023, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Dana jest nierówność

∣ x - 5∣ < 2

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

D.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

345 - 20

jest równa

D.

7 \cdot 5^{\frac{1}{2}}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

lo g_{25} 1 - \frac{1}{2} lo g_{25} 5

jest równa

A.

(- \frac{1}{4})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

3 n^{3} + 18 n^{2} + 15 n

jest podzielna przez

6

.

3 n^{3} + 18 n^{2} + 15 n = 3 n (n + 1) (n + 5)

, a iloczyn

n (n + 1)

dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia

\frac{3 ^{- 1}}{( - \frac{1}{9} ) ^{- 2}} \cdot 81

jest równa

A.

\frac{1}{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia

(2 - 3)^{2} - (3 - 2)^{2}

jest równa

B.

0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

0

wartość wyrażenia

\frac{1}{2 x} - x

jest równa wartości wyrażenia

C.

\frac{1 - 2 x ^{2}}{2 x}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

1 pkt

Równanie

\frac{( x ^{2} - 3 x ) ( x ^{2} + 1 )}{x ^{2} - 25} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

B. dwa rozwiązania

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

3 pkt

Rozwiąż równanie

3 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 2 = 0

x = - 1

lub

x = \frac{2}{3}

lub

x = 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, punkt

(- 8, 6)

jest punktem przecięcia prostych o równaniach

D.

x - y = - 14

i

- 2 x + y = 22

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

jest liczba

1

. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt

(- 1, 4)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wzór funkcji

f

ma postać

C.

f (x) = - 2 x + 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja

f

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f (x) = \frac{x - k}{x ^{2} + 1}

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek

f (1) = 2

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość współczynnika

k

we wzorze tej funkcji jest równa

A.

(- 3)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (x - 13)^{2} - 256

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

(- 3)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

D.

29

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest rosnąca w przedziale

B.

[5, 7]

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Zapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości większe od

1

.

[- 7, - 5] \cup [- 4, 2) \cup (5, 7]

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.3

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Funkcja

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (- x)

dla każdego

x \in [- 7, - 5] \cup [- 4, 4] \cup [5, 7]

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, wykres funkcji

y = g (x)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykres funkcji

y = g (x)

przedstawiono na rysunku

B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

2 pkt

Funkcje

A

,

B

,

C

,

D

,

E

oraz

F

są określone dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wzory tych funkcji podano poniżej.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Przedział

(- \infty, 2]

jest zbiorem wartości funkcji ............. oraz ............. .

Zaznacz dwie odpowiedzi.

AF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{n + 1}{2}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

B.

(- 2)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

128

, natomiast iloraz ciągu jest równy

(- \frac{1}{2})

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wyraz $a_{2023}$ jest liczbą ujemną.
Różnica $a_{3} - a_{2}$ jest równa $96$ .

FP

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

2 pkt

Ciąg

(3 x^{2} + 5 x, x^{2}, 20 - x^{2})

jest arytmetyczny.

Oblicz

x

. Zapisz obliczenia.

x = - 4

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i

cos α = \frac{2 6}{7}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta

α

jest równy

B.

\frac{5}{7}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

Trapez

T_{1}

, o polu równym

52

i obwodzie

36

, jest podobny do trapezu

T_{2}

. Pole trapezu

T_{2}

jest równe

13

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód trapezu

T_{2}

jest równy

A.

18

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

1 pkt

Koło ma promień równy

3

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym

30°

jest równy

D.

\frac{1}{2} π + 6

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

W okręgu

O

kąt środkowy

β

oraz kąt wpisany

α

są oparte na tym samym łuku. Kąt

β

ma miarę o

40°

większą od kąta

α

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta

β

jest równa

B.

80°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

W trójkącie

A B C

długość boku

A C

jest równa

3

, a długość boku

B C

jest równa

4

. Dwusieczna kąta

A C B

przecina bok

A B

w punkcie

D

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Stosunek

∣ A D ∣ : ∣ D B ∣

jest równy

C.

3 : 4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

2 pkt

Dany jest trapez równoramienny

A B C D

, w którym podstawa

C D

ma długość

6

, ramię

A D

ma długość

4

, a kąty

B A D

oraz

A B C

mają miarę

60°

(zobacz rysunek).

Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.

P = 163

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są prosta

k

o równaniu

y = \frac{3}{4} x - \frac{7}{4}

oraz punkt

P = (12, - 1)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta przechodząca przez punkt

P

i równoległa do prostej

k

ma równanie

B.

y = \frac{3}{4} x - 10

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o środku

S = (- 1, 2)

i promieniu

3

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

O

jest określony równaniem

C.

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste o równaniach:

$y = 3 x + 6$
$y = - 3 x + 6$
$y = - \frac{1}{3} x - 2$

przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta

K L M

.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Trójkąt

K L M

jest

	ponieważ

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

B2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

A = (- 1, - 4)

jest wierzchołkiem równoległoboku

A B C D

. Punkt

S = (2, 2)

jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej

A C

równoległoboku

A B C D

jest równa

D.

65

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29.1

1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą

6

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

D.

216 + 1083

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29.2

1 pkt

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą

6

.

Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

cos α = \frac{2 5}{5}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest

D.

9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31

2 pkt

Ze zbioru pięciu liczb

{1, 2, 3, 4, 5}

losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.

P (A) = \frac{3}{10}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 32

1 pkt

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa

A.

5690

zł

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33

4 pkt

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po

196

złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:

przychód $P$ (w złotych) ze sprzedaży $x$ krzeseł można opisać funkcją $P (x) = 196 x$
koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ krzeseł dziennie można opisać funkcją

$K (x) = 4 x^{2} + 4 x + 240$

Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej

30

krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk.
Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

24

krzesła, największy zysk

2064

zł

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie