Zadanie 34 - Matura podstawowa 2023 (maj, F. 2015) - Rozwiązanie

2 pkt

W kwadracie

A B C D

punkty

A = (- 8, - 2)

oraz

C = (0, 4)

są końcami przekątnej.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną

B D

tego kwadratu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

y = - \frac{4}{3} x - \frac{13}{3}

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie swojej długości, więc znajdujemy środek $S$ odcinka $A C$ :
$S = (\frac{x _{A} + x _{C}}{2}, \frac{y _{A} + y _{C}}{2}) = (\frac{- 8 + 0}{2}, \frac{- 2 + 4}{2}) = (- 4, 1)$
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej $A C$ :
$a_{A C} = \frac{y _{C} - y _{A}}{x _{C} - x _{A}} = \frac{4 - ( - 2 )}{0 - ( - 8 )} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Przekątna $B D$ jest prostopadła do przekątnej $A C$ , więc jej współczynnik kierunkowy jest przeciwny i odwrotny do współczynnika prostej $A C$ : $a_{B D} = - \frac{4}{3}$ . Podstawiamy współrzędne punktu $S = (- 4, 1)$ do równania $y = - \frac{4}{3} x + b$ , aby obliczyć $b$ :
$1 = - \frac{4}{3} \cdot (- 4) + b 1 = \frac{16}{3} + b b = - \frac{13}{3}$
Prosta zawierająca przekątną $B D$ kwadratu $A B C D$ ma równanie:
$y = - \frac{4}{3} x - \frac{13}{3}$

Podobne zadania z działu geometria analityczna