Matura podstawowa sierpień 2025 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

\frac{2 5 ^{- 2}}{12 5 ^{- 4}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

5^{8}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

324 + 3192

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

633

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

lo g_{3} 2 - lo g_{3} 18

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

wartość wyrażenia

(3 x + y)^{2} - (3 x - y)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

A.

12 x y

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

3 - x > \frac{5 x - 1}{2}

jest przedział

Poprawna odpowiedź

A.

(- \infty, 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(3 x - 12) (10 + 5 x) (x - 3) = 0

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

g

jest liczba

(- 3)

.
Dla argumentu

0

funkcja

g

przyjmuje wartość

(- \frac{3}{2})

.

Funkcja

g

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

A.

g (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.

Wartość wyrażenia

f (- 2) + 3 \cdot f (2)

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

⟨ - 4, 3 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Współczynnik

b

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

(- 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Funkcja

f

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

C.

f (x) = \frac{1}{2} (x + 4) (x - 6)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

, gdzie

b

oraz

c

są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

6

.
W układzie współrzędnych

(x, y)

prosta o równaniu

x = 1

jest osią symetrii wykresu funkcji

f

.

Funkcja

g

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

g (x) = f (x - 3)

.

Osią symetrii wykresu funkcji

g

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

D.

x = 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Różnica tego ciągu jest równa

(- 4)

oraz

a_{10} = - 24

.

Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

(- 8)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

, o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od

0

, jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_{3} = - 8 \cdot a_{6}

.

Iloraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

(- \frac{1}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

cos α = \frac{5}{13}

.

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{12}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Liczba

sin 30° \cdot cos 60° + sin 60° \cdot cos 30°

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

i o promieniu

36

. Punkt

S

leży na odcinku

B D

. Kąt

B D A

ma miarę

40°

, a kąt

D B C

ma miarę

65°

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

B S A

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

80°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

S

i o promieniu

36

. Punkt

S

leży na odcinku

B D

. Kąt

B D A

ma miarę

40°

, a kąt

D B C

ma miarę

65°

(zobacz rysunek).

Długość łuku

B C

, na którym jest oparty kąt wpisany

C D B

, jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

10 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Informacja do zadań 19.–20.
Dany jest trapez

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

takich, że

∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ C D ∣

. Przekątne

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

E

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

C D E

jest równe

2

, a pole trójkąta

B C E

jest równe

4

.

Pole trójkąta

A E D

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Informacja do zadań 19.–20.
Dany jest trapez

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

takich, że

∣ A B ∣ = 2 \cdot ∣ C D ∣

. Przekątne

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

E

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

C D E

jest równe

2

, a pole trójkąta

B C E

jest równe

4

.

Pole trójkąta

A B E

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 6

,

∣ A C ∣ = 4

oraz

∣∠ C A B ∣ = 60°

(zobacz rysunek).

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

63

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (3 - m) x + 5

l : y = (m + 3) x - 4

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Każda ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równobocznym o boku długości

8

.
Wysokość tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

42

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Objętość walca o promieniu podstawy

2

jest równa

16 π^{2}

.
Wysokość tego walca jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

4 π

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od

500

, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest

Poprawna odpowiedź

C.

75

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

- 3 x^{2} > 6 x - 9

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- 3, 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Wykaż, że liczba

8^{50} - 2^{145}

jest podzielna przez

31

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Liczba

8^{50} - 2^{145} = 2^{145} \cdot 31

jest iloczynem liczby całkowitej i

31

, więc jest podzielna przez

31

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

Rozwiąż równanie

\frac{3}{3 x - 7} = \frac{5 x}{x - 8}

, gdzie

x \neq = \frac{7}{3}

i

x \neq = 8

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{6}{5}

lub

x = \frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Właściciel restauracji kupił

75

kilogramów pomidorów:

x

kg pomidorów malinowych w cenie

11

złotych za kilogram oraz

y

kg pomidorów cherry w cenie

7, 98

złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie

752, 52

złotych.
Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 51

kg

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

W stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.
Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.
Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, a na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.

Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\overset{x}{ˉ} = 1, 875

,

M_{e} = 1, 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga – cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez

3

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{1}{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{32 \cdot ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n - 1}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Trzywyrazowy ciąg

(x, a_{6}, 2 x + 10)

, gdzie

x

jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.

Oblicz

x

oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{8}{3}

,

r = \frac{11}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny

A B C D E F

. Wysokość podstawy

A B C

jest równa

23

. Przekątna

A E

ściany bocznej

A B E D

tworzy z krawędzią

A B

kąt o mierze

60°

(zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 48

,

P_{c} = 563

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dane są punkty

A = (- 4, 7)

oraz

B = (12, 3)

.
Prosta

A B

przecina oś

O x

w punkcie

C

.
Symetralna odcinka

A B

przecina oś

O x

w punkcie

D

.

Oblicz współrzędne punktów

C

i

D

oraz pole trójkąta

A C D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

C = (24, 0)

,

D = (\frac{11}{4}, 0)

,

P_{A C D} = \frac{595}{8}

Rozwiązanie krok po kroku