Zadanie 2, matura rozszerzona czerwiec 2019

1 pkt

Dane są trzy niewspółliniowe punkty:

A = (1, 1)

B = (6, 3)

C = (4, 5)

. Ile jest wszystkich punktów

D

takich, że czworokąt o wierzchołkach w punktach

A

B

C

D

jest równoległobokiem?

Poprawna odpowiedź

3

Punkty $A$ , $B$ , $C$ nie leżą na jednej prostej, więc tworzą trójkąt. Czwarty wierzchołek równoległoboku może leżeć naprzeciw każdego z trzech danych wierzchołków. Dla każdego wyboru dostajemy inny punkt $D$ , więc szukamy trzech punktów.
Gdy $D$ leży naprzeciw $B$ , przekątne $A C$ i $B D$ mają wspólny środek, czyli $D = A + C - B$ . Podobnie w pozostałych przypadkach.
$D_{1} = A + C - B = (1 + 4 - 6, 1 + 5 - 3) = (- 1, 3) D_{2} = A + B - C = (1 + 6 - 4, 1 + 3 - 5) = (3, - 1) D_{3} = B + C - A = (6 + 4 - 1, 3 + 5 - 1) = (9, 7)$
Są trzy takie punkty. Poprawna jest odpowiedź C.

Podobne zadania z działu geometria analityczna