Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę 60000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości p% w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa 67925,76 zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji f jest przedział …………… . 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział …………… . 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne, jest przedział …………… . 4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje największą wartość, jest przedział …………… .
Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) ma współrzędne (0,4).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji f, jest równy (−2).
P
F
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) oraz wykresem funkcji f jest równe 8.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,−9).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,−9).
Wzór funkcji f zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: ……… oraz ……… .
A. f(x)=−x2−9
B. f(x)=−(x−3)2
C. f(x)=−(x+3)2
D. f(x)=−x2+6x−9
E. f(x)=−x2−6x+9
F. f(x)=−x2−6x−9
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,−9). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x)−1.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Funkcja g ma jedno miejsce zerowe.
P
F
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x=3.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=−7x+3. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0,6).
Punkt o współrzędnych (1,p) należy do prostej l.
Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4.
Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem α, że tgα=3.
Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość p.
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry 0, 1, 2, 3 (np. 12303, 11111), jest
Do szkolnego koła czytelniczego należy 50 uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.
Liczba przeczytanych książek
4
5
6
7
8
Liczba uczniów, którzy przeczytali daną liczbę książek
5
8
12
13
12
Uzupełnij zdania.
1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa …………… . 2. Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa …………… .
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48.
Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Obliczamy sumę:
x1+x2=3+(−11)=−8
A.54
B.5−4
C.50,25
D.5−0,25
A. 54
Upraszczamy wyrażenie w nawiasie:
55⋅51=551⋅5−1=551−1=5−54
Podnosimy do potęgi (−5):
(5−54)−5=5−54⋅(−5)=54
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
2. Zbiór wartości: na (−4,−2] funkcja przyjmuje wartość 3; na (−2,2] przyjmuje wartości od f(−2+)=3 do f(2)=−1, czyli [−1,3); na (2,4] przyjmuje wartości od f(2+)=−1 do f(4)=1, czyli (−1,1]. Łącznie: [−1,3].
3. Wartości ujemne: f(x)<0 tylko dla −x+1<0, czyli x>1, w przedziale (−2,2], a także dla x−3<0, czyli x<3, w przedziale (2,4]. Zatem argumenty, dla których f(x)<0, to (1,3).
4. Największa wartość funkcji wynosi 3 i jest przyjmowana dla wszystkich x∈(−4,−2] (na tym przedziale f(x)=3).
PF
Wzór funkcji liniowej: f(x)=ax+b. Wiemy, że f(0)=4, więc b=4. Ponadto f(2)=0:
2a+4=0⟹a=−2
Pierwsze zdanie: współczynnik kierunkowy =−2 — Prawda (P).
Drugie zdanie: trójkąt ma wierzchołki (0,0), (2,0) i (0,4). Pole:
P=21⋅2⋅4=4=8
Drugie zdanie jest Fałszywe (F).
B.(−∞,3]
C.[0,+∞)
D.[3,+∞)
D. [3,+∞)
Wierzchołek paraboli to (3,0), więc f(x)=a(x−3)2. Sprawdzamy znak a korzystając z punktu (0,−9):
−9=a(0−3)2=9a⟹a=−1
Ponieważ a=−1<0, parabola jest skierowana ramionami w dół. Funkcja jest malejąca dla x≥3, czyli w przedziale [3,+∞).
B i D
Z poprzedniego zadania: f(x)=−(x−3)2 — to jest odpowiedź B.
Rozwijamy postać kanoniczną:
−(x−3)2=−(x2−6x+9)=−x2+6x−9
To jest odpowiedź D. Prawidłowe odpowiedzi: B i D.
FP
Mamy g(x)=f(x)−1=−(x−3)2−1. Wierzchołek funkcji g to (3,−1).
Pierwsze zdanie: wierzchołek leży poniżej osi Ox i parabola jest skierowana w dół, więc g(x)≤−1<0 dla wszystkich x — brak miejsc zerowych. Fałsz (F).
Drugie zdanie: oś symetrii paraboli jest w punkcie x=3 (pierwsza współrzędna wierzchołka) — nie zmienia się przy przesunięciu pionowym. Prawda (P).
FP
Pierwsze zdanie: f(36)=log636=log662=2=6 — Fałsz (F).
Drugie zdanie: podstawa logarytmu 6>1, więc funkcja logarytmiczna jest rosnąca — Prawda (P).
FP
Obliczamy pierwsze wyrazy: a1=3(−1)1+10=7, a2=3(−1)2+10=13, a3=7.
Pierwsze zdanie: ilorazy a1a2=713, a2a3=137 — nie są równe, ciąg nie jest geometryczny. Fałsz (F).
Drugie zdanie: wyrazy na przemian: 7,13,7,13,… Suma 8 wyrazów (4 pary):
S8=4⋅(7+13)=4⋅20=80
Drugie zdanie jest Prawdziwe (P).
D. 4
W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:
4+2m=25m+m=3m
Rozwiązujemy:
4+2m=3m⟹m=4
A.151
B.272
C.814
D.2438
C. 814
Iloraz ciągu:
q=a2a3=6191=96=32
Piąty wyraz:
a5=a3⋅q2=91⋅(32)2=91⋅94=814
A.21
B.87
C.415
D.815
D. 815
Kąt prosty jest przy wierzchołku A (bo AC i AB są przyprostokątnymi). Sinus kąta ABC:
sin∠ABC=∣BC∣∣AC∣=815
A.15
B.21
C.87
D.815
A. 15
Obliczamy ∣AB∣ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC:
∣AB∣2=∣BC∣2−∣AC∣2=64−15=49⟹∣AB∣=7
Mamy ∣AD∣=∣AB∣−∣BD∣=7−6=1. W trójkącie ADC (prostokątnym przy A):
tg∠ADC=∣AD∣∣AC∣=115=15
A.(−413)
B.(−21)
C.21
D.413
A. (−413)
Korzystamy z tożsamości sin2α+cos2α=1:
cos2α=1−sin2α=1−163=1613
Ponieważ α jest rozwarty, cosα<0:
cosα=−413
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Mediana: 50 uczniów, więc mediana to średnia 25. i 26. wartości. Skumulowane liczności: 5 (do 4 książek), 13 (do 5), 25 (do 6), 38 (do 7), 50 (do 8). Zarówno 25. jak i 26. obserwacja leżą w przedziale wartości 6 i 7:
mediana=26+7=6,5
P(x)=−26x2+96x, D=(0,3), x=1324
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.