Matura podstawowa grudzień 2024, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczby

x_{1}

i

x_{2}

są różnymi rozwiązaniami równania

∣ x + 4∣ = 7

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma

x_{1} + x_{2}

jest równa

B.

(- 8)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

(55 \cdot \frac{1}{5})^{- 5}

jest równa

A.

5^{4}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

2 pkt

Wykaż, że liczba

2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24}

jest podzielna przez

21

.

2^{100} + 4^{49} + 1 6^{24} = 2^{96} \cdot 21

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

wartość wyrażenia

lo g_{7} x + 6 lo g_{7} y

jest równa wartości wyrażenia

D.

lo g_{7} (x y^{6})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę

60000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości

p %

w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa

67925, 76

zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe

B.

6, 4%

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(- 1)

,

0

oraz

1

wartość wyrażenia

\frac{x}{x ^{2} - 1} : \frac{3 x ^{2}}{x + 1}

jest równa wartości wyrażenia

B.

\frac{1}{3 x ^{2} - 3 x}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

1 pkt

Para liczb

x = - 1

i

y = 6

jest rozwiązaniem układu równań

{a x + 3 y = 20 x + b y = 5

gdzie

a

oraz

b

są liczbami rzeczywistymi.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia

a \cdot b

jest równa

A.

(- 2)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Rozwiąż równanie

\frac{x + 3}{x - 1} = \frac{x}{2 x - 2}

Zapisz konieczne założenie i obliczenia.

x = - 6

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (x - 6) \leq 7

Zapisz obliczenia.

x \in [- 1, 7]

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 3 - x + 1 x - 3 dla x \in (- 4, - 2] dla x \in (- 2, 2] dla x \in (2, 4]

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Dziedziną funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości ujemne, jest przedział ___.
4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje największą wartość, jest przedział ___.

1.

(- 4, 4]

2.

[- 1, 3]

3.

(1, 3)

4.

(- 4, - 2]

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f

jest liczba

2

, a punkt przecięcia wykresu funkcji

f

z osią

O y

kartezjańskiego układu współrzędnych

(x, y)

ma współrzędne

(0, 4)

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji $f$ , jest równy $(- 2)$ .
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych $(x, y)$ oraz wykresem funkcji $f$ jest równe $8$ .

PF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0, - 9)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja

f

jest malejąca w przedziale

D.

[3, + \infty)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12.2

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0, - 9)

.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wzór funkcji

f

zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: ___ oraz ___.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

B i D

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12.3

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt

(3, 0)

. Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych

(0, - 9)

.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (x) - 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja $g$ ma jedno miejsce zerowe.
W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x = 3$ .

FP

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

1 pkt

Funkcja logarytmiczna

f

jest określona wzorem

f (x) = lo g_{6} x

dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wartość funkcji $f$ dla argumentu $36$ jest równa $6$ .
Funkcja $f$ jest rosnąca.

FP

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 \cdot (- 1)^{n} + 10

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.
Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $80$ .

FP

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzywyrazowy ciąg

(5 m, 4 + 2 m, m)

jest arytmetyczny, gdy liczba

m

jest równa

D.

4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, w którym

a_{2} = \frac{1}{6}

oraz

a_{3} = \frac{1}{9}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Piąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

C.

\frac{4}{81}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17.1

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = 15

i

∣ B C ∣ = 8

. Na przyprostokątnej

A B

leży taki punkt

D

, że

∣ B D ∣ = 6

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta ostrego

A B C

jest równy

D.

\frac{15}{8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17.2

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = 15

i

∣ B C ∣ = 8

. Na przyprostokątnej

A B

leży taki punkt

D

, że

∣ B D ∣ = 6

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta ostrego

A D C

jest równy

A.

15

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

1 pkt

Kąt o mierze

α

jest rozwarty oraz

sin α = \frac{3}{4}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Cosinus kąta o mierze

α

jest równy

A.

(- \frac{13}{4})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

4 pkt

W trapezie prostokątnym

A B C D

dłuższa podstawa

A B

ma długość

7, 5

.
Krótsza przekątna

A C

ma długość równą

6

i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

Oblicz pole trapezu

A B C D

. Zapisz obliczenia.

P_{A B C D} = 22, 14

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

Dany jest okrąg o środku w punkcie

S

i promieniu

6

.
Miara kąta wpisanego

A C B

jest równa

60°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość łuku

A B

, na którym oparty jest kąt wpisany

A C B

, jest równa

B.

4 π

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 2, - 1)

oraz

C = (3, 4)

są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość boku kwadratu

A B C D

jest równa

A.

5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = - 7 x + 3

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przecina oś

O y

w punkcie

(0, 6)

. Punkt o współrzędnych

(1, p)

należy do prostej

l

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

p

jest równa

B.

(- 1)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są cztery okręgi:

o_{1}

,

o_{2}

,

o_{3}

,

o_{4}

, o równaniach:

o_{1} : (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1

o_{2} : (x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9

o_{3} : (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4

o_{4} : (x + 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 16

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych

(x, y)

, jest

C.

o_{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

1 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości

4

.
Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem

α

, że

tg α = 3

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego ostrosłupa jest równa

B.

6

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

1 pkt

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość

p

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Objętość tego prostopadłościanu jest równa

D.

p^{3} - 6 p^{2} + 8 p

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

2 pkt

Objętość stożka o wysokości

2

jest równa

8 π

.

Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.

120°

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry

0

,

1

,

2

,

3

(np.

12303

,

11111

), jest

B.

384

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

2 pkt

Dane są dwa zbiory:

C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

oraz

D = {7, 8, 9, 10}

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

C

, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru

D

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez

4

. Zapisz obliczenia.

P (A) = \frac{11}{24}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29

2 pkt

Do szkolnego koła czytelniczego należy

50

uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.

Liczba przeczytanych książek	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
Liczba uczniów, którzy przeczytali daną liczbę książek	$5$	$8$	$12$	$13$	$12$

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ___.

2. Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ___.

1.

6, 38

2.

6, 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

4 pkt

Rozważamy wszystkie prostopadłościany

A B C D E F G H

, w których krawędź

A E

jest

3

razy dłuższa od krawędzi

A B

, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa

48

(zobacz rysunek).

Niech

P (x)

oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości

x

krawędzi

A B

.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji

P

. Oblicz długość

x

krawędzi

A B

tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

P (x) = - 26 x^{2} + 96 x

D = (0, 3)

x = \frac{24}{13}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie