Matura rozszerzona marzec 2022

, aby rozwiązać online.

3 pkt

Dane są liczby

a = lo g_{2} 3

oraz

b = lo g_{3} 7

.

Wyraź

lo g_{4} 49

za pomocą liczb

a

oraz

b

Poprawna odpowiedź

lo g_{4} 49 = a \cdot b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

.

Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

P = (- 3, - 3)

Poprawna odpowiedź

y = \frac{3}{4} x - \frac{3}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

7

, a suma

S

wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

8

.

Wyznacz wszystkie wartości

n

, dla których spełniona jest nierówność

\frac{S - S _{n}}{S _{n}} < 0, 001

gdzie

S_{n}

oznacza sumę

n

początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

Poprawna odpowiedź

n > 9

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

5 pkt

Dane jest równanie

(x - 6) \cdot [(m - 2) x^{2} - 4 (m + 3) x + m + 1] = 0

z niewiadomą

x

i parametrem

m \in R

.

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których to równanie ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.

Poprawna odpowiedź

m \in (- \infty, - \frac{19}{3}) \cup (2, 11) \cup (11, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

3 pkt

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez

4

jest liczbą podzielną przez

36

Poprawna odpowiedź

Suma jest podzielna przez

4

i przez

9

, a liczby

4

9

są względnie pierwsze, więc suma jest podzielna przez

36

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6.1

2 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Niech

R

będzie punktem leżącym na wykresie funkcji

g

.

Wykaż, że odległość punktu

R

od punktu

P

wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie

x

jest pierwszą współrzędną punktu

R

Poprawna odpowiedź

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6.2

6 pkt

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.

Oblicz współrzędne punktu

K

, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca

K

toru od początku

P

) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru.

Zapisz obliczenia.

Wskazówka.
Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu $R$ leżącego na wykresie funkcji $g$ od punktu $P$ wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie $x$ jest pierwszą współrzędną punktu $R$ .

Poprawna odpowiedź

K = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})

∣ P K ∣ = \frac{5 2}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (3 x) = 2 sin x

w zbiorze

[0, π]

.

Zapisz obliczenia.

Poprawna odpowiedź

x \in {0, \frac{1}{6} π, \frac{5}{6} π, π}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

4 pkt

Dany jest trapez równoramienny

A B C D

o obwodzie

l

i podstawach

A B

oraz

C D

takich, że

∣ A B ∣ > ∣ C D ∣

. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna

A C

trapezu ma długość

d

(zobacz rysunek).

Wykaż, że promień

R

okręgu opisanego na trapezie

A B C D

jest równy

\frac{d \cdot l}{2 16 d ^{2} - l ^{2}}

Poprawna odpowiedź

R = \frac{d \cdot l}{2 16 d ^{2} - l ^{2}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkt

A = (9, 12)

jest wierzchołkiem trójkąta

A B C

. Prosta

k

o równaniu

y = \frac{1}{2} x

zawiera dwusieczną kąta

A B C

tego trójkąta. Okrąg

O

o równaniu

(x - 8)^{2} + (y - 4)^{2} = 16

jest wpisany w ten trójkąt.

Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki

B

C

tego trójkąta z okręgiem

O

.

Zapisz obliczenia.

Poprawna odpowiedź

(8, 0)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

6 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

i polu powierzchni bocznej równym

P

. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka

S

ma miarę

2 α

.
Objętość tego ostrosłupa jest równa

k \cdot P^{3} \cdot sin α \cdot cos (2 α)

, gdzie

k

jest stałym współczynnikiem liczbowym.

Oblicz współczynnik

k

.

Zapisz obliczenia.

Poprawna odpowiedź

k = \frac{2}{36}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Egzamin składa się z

15

zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli udzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej

11

zadaniach. Pewien student przystąpił nieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź. Przyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo prawdopodobny.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.

Zapisz obliczenia.

Poprawna odpowiedź

\frac{123841}{4 ^{15}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie