Matura podstawowa czerwiec 2019, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Rozwiązaniem równania

\frac{( x ^{2} - 2 x - 3 ) \cdot ( x ^{2} - 9 )}{x - 1} = 0

nie jest liczba

Poprawna odpowiedź

C.

1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

\frac{lo g _{3} 27}{lo g _{3} 27}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Jedną z liczb spełniających nierówność

(x - 6) \cdot (x - 2)^{2} \cdot (x + 4) \cdot (x + 10) > 0

jest

Poprawna odpowiedź

A.

- 5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Liczba dodatnia

a

jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o

50%

, a jego mianownik zwiększymy o

50%

, to otrzymamy liczbę

b

taką, że

Poprawna odpowiedź

B.

b = \frac{1}{3} a

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (a + 1) x + 11

, gdzie

a

to pewna liczba rzeczywista, ma miejsce zerowe równe

x = \frac{3}{4}

. Stąd wynika, że

Poprawna odpowiedź

C.

a = - \frac{47}{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Funkcja

f

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

wzorem

f (x) = (m 5 - 1) x + 3

. Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby

m

spełniającej warunek

Poprawna odpowiedź

A.

m > \frac{1}{5}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

1 pkt

Układ równań

{2 x - y = 2 x + m y = 1

ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

Poprawna odpowiedź

D.

m = - \frac{1}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

1 pkt

Rysunek przedstawia wykres funkcji

f

zbudowany z 6 odcinków, przy czym punkty

B = (2, - 1)

i

C = (4, - 1)

należą do wykresu funkcji.

Równanie

f (x) = - 1

ma

Poprawna odpowiedź

D. nieskończenie wiele rozwiązań.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

1 pkt

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla liczb naturalnych

n \geq 1

, o wyrazach dodatnich. Jeśli

a_{2} + a_{9} = a_{4} + a_{k}

, to

k

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

7

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

1 pkt

W ciągu

(a_{n})

określonym dla każdej liczby

n \geq 1

jest spełniony warunek

a_{n + 3} = - 2 \cdot 3^{n + 1}

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

A.

a_{5} = - 54

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

(3 x - 2)^{2} - (2 x - 3) (2 x + 3)

jest po uproszczeniu równe

Poprawna odpowiedź

C.

5 x^{2} - 12 x + 13

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

1 pkt

Kąt

α \in (0°, 180°)

oraz wiadomo, że

sin α \cdot cos α = - \frac{3}{8}

. Wartość wyrażenia

(cos α - sin α)^{2} + 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{15}{4}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

1 pkt

Wartość wyrażenia

2 sin^{2} 18° + sin^{2} 72° + cos^{2} 18°

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

1 pkt

Punkty

B

,

C

i

D

leżą na okręgu o środku

S

i promieniu

r

. Punkt

A

jest punktem wspólnym prostych

B C

i

S D

, a odcinki

A B

i

S C

są równej długości. Miara kąta

B C S

jest równa

34°

(zobacz rysunek). Wtedy

Poprawna odpowiedź

B.

α = 17°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

1 pkt

Pole trójkąta

A B C

o wierzchołkach

A = (0, 0)

,

B = (4, 2)

,

C = (2, 6)

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

10

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

1 pkt

Na okręgu o środku w punkcie

O

wybrano trzy punkty

A

,

B

,

C

tak, że

∣ ∢ A O B ∣ = 7 0^{\circ}

,

∣ ∢ O A C ∣ = 2 5^{\circ}

. Cięciwa

A C

przecina promień

O B

(zobacz rysunek). Wtedy miara

∢ O B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

α = 6 0^{\circ}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

1 pkt

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie dany jest odcinek

A B

o końcach w punktach

A = (7, 4)

,

B = (11, 12)

. Punkt

S

leży wewnątrz odcinka

A B

oraz

∣ A S ∣ = 3 \cdot ∣ B S ∣

. Wówczas

Poprawna odpowiedź

C.

S = (10, 10)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

1 pkt

Suma odległości punktu

A = (- 4, 2)

od prostych o równaniach

x = 4

i

y = - 4

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

14

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

1 pkt

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa

96

cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

384 cm^{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Kąt między ramionami tego trójkąta ma miarę

4 4^{\circ}

. Dwusieczna kąta poprowadzona z wierzchołka

A

przecina bok

B C

tego trójkąta w punkcie

D

. Kąt

A D C

ma miarę

Poprawna odpowiedź

D.

10 2^{\circ}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

1 pkt

Liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez

6

jest

Poprawna odpowiedź

D.

15

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat

A B C D

o boku długości

4

. Krawędź boczna

D S

jest prostopadła do podstawy i ma długość

3

(zobacz rysunek).
Pole ściany

B C S

tego ostrosłupa jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

10

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

. Przekątne

A C

i

B D

ściany

A B C D

sześcianu przecinają się w punkcie

P

(zobacz rysunek).
Tangens kąta, jaki odcinek

P H

tworzy z płaszczyzną

A B C D

, jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

1 pkt

Przekrojem osiowym walca jest kwadrat o przekątnej długości

12

. Objętość tego walca jest zatem równa

Poprawna odpowiedź

B.

108 π 2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

1 pkt

Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych

{20, 21, 22, \dots, 39, 40}

losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez

4

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{2}{7}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (7 x + 2) > 7 x + 2

.

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{2}{7}) \cup (1, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

2 pkt

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste

x

, które spełniają warunek:

\frac{3 x ^{2} - 8 x - 3}{x - 3} = x - 3

.

Poprawna odpowiedź

x = - 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

2 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

. Punkt

S

jest środkiem boku

A B

tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów

A

i

B

od prostej

C S

są równe.

Poprawna odpowiedź

P_{A S C} = P_{B S C}

, więc odległości punktów

A

i

B

od prostej

C S

są równe.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby

a > 0

i dla każdej liczby

b > 0

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}

.

Poprawna odpowiedź

(a - b)^{2} \geq 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

2 pkt

W ciągu geometrycznym przez

S_{n}

oznaczamy sumę

n

początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych

n \geq 1

. Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego:

S_{1} = 2

i

S_{2} = 12

. Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Poprawna odpowiedź

q = 5

,

a_{5} = 1250

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31

2 pkt

Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy sumę oczek równą

16

.

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{36}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 32

5 pkt

Podstawą ostrosłupa

A B C D S

jest prostokąt o polu równym

432

, a stosunek długości boków tego prostokąta jest równy

3 : 4

. Przekątne podstawy

A B C D

przecinają się w punkcie

O

. Odcinek

S O

jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Kąt

S A O

ma miarę

6 0^{\circ}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Poprawna odpowiedź

V = 21603

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33

4 pkt

Liczby rzeczywiste

x

i

z

spełniają warunek

2 x + z = 1

. Wyznacz takie wartości

x

i

z

, dla których wyrażenie

x^{2} + z^{2} + 7 x z

przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.

Poprawna odpowiedź

x = \frac{1}{6}

,

z = \frac{2}{3}

, największa wartość:

\frac{5}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 34

4 pkt

Dany jest trójkąt rozwartokątny

A B C

, w którym

∢ A C B

ma miarę

120°

. Ponadto wiadomo, że

∣ B C ∣ = 10

i

∣ A B ∣ = 107

(zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta

A B C

.

Poprawna odpowiedź

∣ A C ∣ = 20

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie