Matura rozszerzona maj 2018 (F. 2005)

, aby rozwiązać online.

4 pkt

Rozwiąż równanie

3∣ x + 2∣ = ∣ x - 3∣ + 11

Poprawna odpowiedź

x = - 10

lub

x = 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

5 pkt

Liczby

a

b

c

, spełniające warunek

3 a + b + 3 c = 77

, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg

(a, b + 1, 2 c)

jest geometryczny. Wyznacz liczby

a

b

c

oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Poprawna odpowiedź

a = 4

b = 11

c = 18

i ciąg geometryczny

(4, 12, 36)

lub

a = 18

b = 11

c = 4

i ciąg geometryczny

(18, 12, 8)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

5 pkt

Dany jest czworokąt wypukły

A B C D

, w którym

∣ A D ∣ = ∣ A B ∣ = ∣ B C ∣ = a

∣ ∢ B A D ∣ = 6 0^{\circ}

∣ ∢ A D C ∣ = 13 5^{\circ}

. Oblicz pole czworokąta

A B C D

Poprawna odpowiedź

P_{A B C D} = \frac{3 + 1}{4} a^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

4 pkt

Z liczb ośmioelementowego zbioru

Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy nie powtarzają się. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Poprawna odpowiedź

\frac{5}{14}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

3 pkt

Trójkąt

A B C

jest ostrokątny oraz

∣ A C ∣ > ∣ B C ∣

. Dwusieczna

d_{C}

kąta

A C B

przecina bok

A B

w punkcie

K

. Punkt

L

jest obrazem punktu

K

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{A}

kąta

B A C

, punkt

M

jest obrazem punktu

L

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{C}

kąta

A C B

, a punkt

N

jest obrazem punktu

M

w symetrii osiowej względem dwusiecznej

d_{B}

kąta

A B C

(zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie

K N M L

można opisać okrąg.

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej

k

i dla każdej liczby całkowitej

m

liczba

k^{3} m - k m^{3}

jest podzielna przez

6

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

4 pkt

Rozwiąż równanie

2 cos^{2} x + 3 sin x = 0

w przedziale

⟨ - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2} ⟩

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{π}{6}

lub

x = \frac{7 π}{6}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

5 pkt

Liczba

\frac{2}{5}

jest pierwiastkiem wielomianu

W (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + p

. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność

W (x) > 0

Poprawna odpowiedź

Pierwiastki:

\frac{2}{5}

\frac{1 - 5}{2}

\frac{1 + 5}{2}

;

x \in (\frac{1 - 5}{2}, \frac{2}{5}) \cup (\frac{1 + 5}{2}, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + (m + 1) x - m^{2} + 1 = 0

ma dwa rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

(

x_{1} \neq = x_{2}

), spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 7 x_{1} x_{2}

Poprawna odpowiedź

m \in (- \infty, - 3) \cup (\frac{3}{5}, \frac{3}{4})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

6 pkt

Punkt

A = (7, - 1)

jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Obie współrzędne wierzchołka

C

są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt

A B C

ma równanie

x^{2} + y^{2} = 10

. Oblicz współrzędne wierzchołków

B

C

tego trójkąta.

Poprawna odpowiedź

B = (- \frac{17}{5}, \frac{31}{5})

C = (- 3, - \frac{13}{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

5 pkt

Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

A B C S

płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek

S

i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość

\frac{4 3}{3}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Poprawna odpowiedź

V = \frac{32 3}{27}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie