Matura podstawowa czerwiec 2025 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

0, 1

jest jednym z przybliżeń liczby

\frac{1}{8}

.

Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

20%

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

256 \cdot 3 8^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

2^{10}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

(3 + 1)^{2} - 12

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

2 + lo g_{3} 5

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

lo g_{3} 45

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Dana jest nierówność

8 - \frac{1 - 2 x}{2} \geq 3 x

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Poprawna odpowiedź

C.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Równanie

4 (x - 1)^{2} (x^{2} - 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

B. trzy rozwiązania.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Informacja do zadań 7.–8.
Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

. Dziedziną funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

A.

(- 5, 3 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) < f (- 3)

jest przedział

Poprawna odpowiedź

D.

(- 3, 1 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{1}{2} x - k

, gdzie

k

jest liczbą rzeczywistą.
Miejsce zerowe funkcji

f

jest liczbą większą od

2

.
Liczba

k

należy do przedziału

Poprawna odpowiedź

D.

(1, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = 5 x

. W układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji

f

przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi

O x

i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej

g

.
Funkcja

g

jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

A.

g (x) = 5 x - 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (500 + 50 x) (16 - x)

.
Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ 0, 14 ⟩

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

f (3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 6 4^{x}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Liczba

f (- \frac{2}{3})

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{1}{16}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n^{2} - 3 n

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Suma

S_{3}

trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

24

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(4, m, m - 1)

jest geometryczny, gdy liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych

α

oraz

β

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

α

jest równy

\frac{4}{7}

.

Cosinus kąta

β

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{4}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Liczba

\frac{sin ^{3} 2 5 ^{\circ} + sin 2 5 ^{\circ} \cdot cos ^{2} 2 5 ^{\circ}}{cos 2 5 ^{\circ}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

tg 2 5^{\circ}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości

10

,

24

,

26

(zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości

10

,

24

,

26

(zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

13

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Na dziesięciokącie foremnym

A B C D E F G H I J

opisano okrąg o środku w punkcie

S

(zobacz rysunek).

Miara kąta wpisanego

A G D

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5 4^{\circ}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Kwadrat

K_{2}

jest podobny do kwadratu

K_{1}

w skali

5

(zobacz rysunek).

Suma pól tych kwadratów jest równa

78

.

Długość boku kwadratu

K_{1}

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = x - 4

.

Prosta

l

jest obrazem prostej

k

w symetrii osiowej względem osi

O y

układu współrzędnych.

Prosta

l

jest określona równaniem

Poprawna odpowiedź

C.

y = - x - 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe

20

. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.
Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Tworząca stożka ma długość

6

. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę

60°

.
Wysokość tego stożka jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

33

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra

0

, jest

Poprawna odpowiedź

B.

117

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Średnia arytmetyczna trzech liczb:

a

,

b

,

c

, jest równa

12

.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb:

2 a

,

3 a

,

2 b

,

3 b

,

2 c

,

3 c

, jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

30

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (x + 4) < x - 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- 2, - 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 2

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + y^{2} > 4 (x + y - 2)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność

x^{2} + y^{2} > 4 (x + y - 2)

jest równoważna nierówności

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} > 0

, która jest prawdziwa dla każdego

x \neq = 2

i

y \in R

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie

1410

drzew. Po roku stwierdzono, że uschło

20%

drzew w pierwszym sadzie i

15%

drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła

70%

liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 850

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa

2025

. Ostatni wyraz tego ciągu jest

17

razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{1} = 9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez

32

uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Liczba punktów	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów	$4$	$2$	$5$	$5$	$11$	$5$

Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\overline{x} = 3

oraz

M e = 3, 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Dane są dwa zbiory:

X = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2}

oraz

Y = {- 2, - 1, 0, 1}

. Losujemy jedną liczbę ze zbioru

X

, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru

Y

i tworzymy uporządkowaną parę liczb

(x, y)

, gdzie

x

jest liczbą wylosowaną ze zbioru

X

oraz

y

jest liczbą wylosowaną ze zbioru

Y

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb

(x, y)

, która będzie spełniać warunek

x \cdot y \geq 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{17}{24}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

wykres funkcji kwadratowej

f

przechodzi przez punkt

(2, 15)

. Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu

x = - 1

. Jednym z miejsc zerowych funkcji

f

jest liczba

1

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = 3 (x + 1)^{2} - 12

,

Z W_{f} = ⟨ - 12, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe

94, 5

.
Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym

4

.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 27

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, 1)

oraz

C = (6, 4)

są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

. Prosta

k

o równaniu

y = a x + b

przechodzi przez wierzchołki

B

oraz

D

tego kwadratu.

Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki

a

oraz

b

w równaniu prostej

k

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = \frac{45}{2}

,

a = - 2

,

b = \frac{17}{2}

Rozwiązanie krok po kroku