Matura podstawowa grudzień 2023, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

(3^{- 2, 4} \cdot 3^{\frac{2}{5}})^{\frac{1}{2}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{1}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

lo g_{2} 96 - lo g_{2} 3

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości

5%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę

4851

zł (bez uwzględnienia podatków).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa

Poprawna odpowiedź

B.

4400

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono przedział.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Poprawna odpowiedź

A.

∣ x - 2∣ < 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej

n

liczba

3 n^{2} + 4 n + 1

jest podzielna przez

4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

3 n^{2} + 4 n + 1 = 4 (3 k^{2} + 5 k + 2)

, gdzie

n = 2 k + 1

,

k \in Z

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dany jest układ równań

{x - 3 y + 5 = 0 2 x + y + 3 = 0

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

Poprawna odpowiedź

C.

x = - 2

i

y = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(- 3)

i

(- 2)

wartość wyrażenia

\frac{x + 3}{x ^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x ^{2} + 2 x}{2 x + 6}

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{x}{2 x + 4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + k x + 1

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian

W

można zapisać w postaci

W (x) = (x + 1) \cdot Q (x)

dla pewnego wielomianu

Q

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

k

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

3 pkt

Rozwiąż równanie

2 x^{3} + 3 x^{2} = 10 x + 15

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 5, x = - \frac{3}{2}, x = 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $4$ .	P	F
Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $O y$ ma współrzędne $(0, - \frac{1}{6})$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

[- 2, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości ujemne.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(2, 6)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.3

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wzór funkcji

f

można przedstawić w postaci: ………. oraz ………. .

Zaznacz dwie odpowiedzi.

Poprawna odpowiedź

AB

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11.4

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (x + 1)

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, fragment wykresu funkcji

y = g (x)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji

y = g (x)

przedstawiono na rysunku

Poprawna odpowiedź

B

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze

22

°C opisuje funkcja wykładnicza

T (x) = 78 \cdot 2^{- 0, 05 x} + 22

, gdzie

T (x)

to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po

x

minutach liczonych od momentu

x = 0

, w którym zioła zalano wrzątkiem.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Temperatura naparu po

20

minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa

Poprawna odpowiedź

D. 61 °C

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. W tym ciągu

a_{2} = 4

oraz

a_{3} = 9

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

24

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma

n

początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem

S_{n} = 4 \cdot (2^{n} - 1)

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest równy $4$ .	P	F
Drugi wyraz ciągu (a_n) jest równy $12$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1 - 2 a, 12, 48)

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

a

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.1

1 pkt

Dane są dwa kąty o miarach

α

oraz

β

, spełniające warunki:

α \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

i

tg α = - \frac{2}{3}

oraz

β \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

i

cos β = \frac{1}{10}

.

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze

α

oraz kąt o mierze

β

. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią

O x

, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych:

A

lub

B

, lub

C

, lub

D

, lub

E

, lub

F

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt

α

jest zaznaczony na rysunku

Poprawna odpowiedź

B.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.2

1 pkt

Dane są dwa kąty o miarach

α

oraz

β

, spełniające warunki:

α \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

i

tg α = - \frac{2}{3}

oraz

β \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

i

cos β = \frac{1}{10}

.

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze

α

oraz kąt o mierze

β

. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią

O x

, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych:

A

lub

B

, lub

C

, lub

D

, lub

E

, lub

F

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt

β

jest zaznaczony na rysunku

Poprawna odpowiedź

D.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{5}{3}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{5}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

l

o równaniu

y = \frac{3}{2} x - \frac{15}{2}

. Prosta

k

jest prostopadła do prostej

l

i przechodzi przez punkt

P = (6, 0)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta

k

ma równanie

Poprawna odpowiedź

D.

y = - \frac{2}{3} x + 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są proste

k

oraz

l

o równaniach

k : y = - \frac{1}{2} x - 7

l : y = (2 m - 1) x + 13

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy

Poprawna odpowiedź

B.

m = \frac{1}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o środku w punkcie

S = (4, - 2)

. Okrąg

O

jest styczny do osi

O x

układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

O

jest określony równaniem

Poprawna odpowiedź

A.

(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

K = (- 7, - 2)

oraz

L = (- 1, 4)

są wierzchołkami trójkąta równobocznego

K L M

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta

K L M

jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

183

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Punkty

A

,

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Prosta

k

jest styczna do tego okręgu w punkcie

A

i tworzy z cięciwą

A B

kąt o mierze

32°

. Ponadto odcinek

A C

jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta rozwartego

B O C

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

116°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W rombie

A B C D

dłuższa przekątna

A C

ma długość

12

i tworzy z bokiem

A B

kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole rombu

A B C D

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

243

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

2 pkt

Dany jest okrąg

O

o środku w punkcie

S

. Średnica

A B

tego okręgu przecina cięciwę

C D

w punkcie

P

(zobacz rysunek). Ponadto:

∣ P B ∣ = 4

,

∣ P C ∣ = 8

oraz

∣ P D ∣ = 5

.

Oblicz promień okręgu

O

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

r = 7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

5

. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt

P

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma odległości punktu

P

od wszystkich ścian sześcianu

A B C D E F G H

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

15

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

3 pkt

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa

384

. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze

α

taki, że

tg α = \frac{4}{3}

(zobacz rysunek).

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

h_{b} = 10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy

(- 3)

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

840

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{1}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29.1

1 pkt

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale

[19

dag

, 21

dag

]

.
Pobrano próbę kontrolną liczącą

50

jabłek i następnie zważono każde z nich.
Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie.
Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Spośród

50

zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{18}{25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29.2

1 pkt

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale

[19

dag

, 21

dag

]

.
Pobrano próbę kontrolną liczącą

50

jabłek i następnie zważono każde z nich.
Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie.
Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Dominanta masy

50

zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa

A. $20$ dag,	ponieważ	1. ta masa jest największa w tej próbie.
		2. iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie.
B. $23$ dag,		3. ta masa występuje najliczniej w tej próbie.

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

Poprawna odpowiedź

A3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

4 pkt

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość

12

dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa

18

dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

b = 3

dm,

P = 112, 5

dm

^{2}

Rozwiązanie krok po kroku