Matura podstawowa grudzień 2023, arkusz z odpowiedziami

zł (bez uwzględnienia podatków).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa

B.

4400

zł

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Na osi liczbowej zaznaczono przedział.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

A.

∣ x - 2∣ < 5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej

n

liczba

3 n^{2} + 4 n + 1

jest podzielna przez

4

.

3 n^{2} + 4 n + 1 = 4 (3 k^{2} + 5 k + 2)

, gdzie

n = 2 k + 1

,

k \in Z

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Dany jest układ równań

{x - 3 y + 5 = 0 2 x + y + 3 = 0

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

C.

x = - 2

i

y = 1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

różnej od

(- 3)

i

(- 2)

wartość wyrażenia

\frac{x + 3}{x ^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{x ^{2} + 2 x}{2 x + 6}

jest równa wartości wyrażenia

C.

\frac{x}{2 x + 4}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = - 3 x^{3} - x^{2} + k x + 1

, gdzie

k

jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian

W

można zapisać w postaci

W (x) = (x + 1) \cdot Q (x)

dla pewnego wielomianu

Q

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

k

jest równa

D.

3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

3 pkt

Rozwiąż równanie

2 x^{3} + 3 x^{2} = 10 x + 15

Zapisz obliczenia.

x = - 5, x = - \frac{3}{2}, x = 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - \frac{1}{6} x + \frac{2}{3}

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba $4$ .
Punkt przecięcia wykresu funkcji $f$ z osią $O y$ ma współrzędne $(0, - \frac{1}{6})$ .

PF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

C.

[- 2, + \infty)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości ujemne.

(2, 6)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11.3

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wzór funkcji

f

można przedstawić w postaci: ………. oraz ………. .

Zaznacz dwie odpowiedzi.

AB

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11.4

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji

f

, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (x + 1)

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, fragment wykresu funkcji

y = g (x)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Fragment wykresu funkcji

y = g (x)

przedstawiono na rysunku

B

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

1 pkt

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze

22

°C opisuje funkcja wykładnicza

T (x) = 78 \cdot 2^{- 0, 05 x} + 22

, gdzie

T (x)

to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po

x

minutach liczonych od momentu

x = 0

, w którym zioła zalano wrzątkiem.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Temperatura naparu po

20

minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa

D. 61 °C

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. W tym ciągu

a_{2} = 4

oraz

a_{3} = 9

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Szósty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

A.

24

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma

n

początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem

S_{n} = 4 \cdot (2^{n} - 1)

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest równy $4$ .
Drugi wyraz ciągu (a_n) jest równy $12$ .

PF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1 - 2 a, 12, 48)

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba

a

jest równa

A.

(- 1)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16.1

1 pkt

Dane są dwa kąty o miarach

α

oraz

β

, spełniające warunki:

α \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

i

tg α = - \frac{2}{3}

oraz

β \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

i

cos β = \frac{1}{10}

.

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze

α

oraz kąt o mierze

β

. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią

O x

, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych:

A

lub

B

, lub

C

, lub

D

, lub

E

, lub

F

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt

α

jest zaznaczony na rysunku

B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16.2

1 pkt

Dane są dwa kąty o miarach

α

oraz

β

, spełniające warunki:

α \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

i

tg α = - \frac{2}{3}

oraz

β \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

i

cos β = \frac{1}{10}

.

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze

α

oraz kąt o mierze

β

. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią

O x

, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych:

A

lub

B

, lub

C

, lub

D

, lub

E

, lub

F

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt

β

jest zaznaczony na rysunku

D.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{5}{3}

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta

α

jest równy

A.

\frac{5}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

l

o równaniu

y = \frac{3}{2} x - \frac{15}{2}

. Prosta

k

jest prostopadła do prostej

l

i przechodzi przez punkt

P = (6, 0)

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prosta

k

ma równanie

D.

y = - \frac{2}{3} x + 4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dane są proste

k

oraz

l

o równaniach

k : y = - \frac{1}{2} x - 7

l : y = (2 m - 1) x + 13

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy

B.

m = \frac{1}{4}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o środku w punkcie

S = (4, - 2)

. Okrąg

O

jest styczny do osi

O x

układu współrzędnych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg

O

jest określony równaniem

A.

(x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

K = (- 7, - 2)

oraz

L = (- 1, 4)

są wierzchołkami trójkąta równobocznego

K L M

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole trójkąta

K L M

jest równe

D.

183

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

Punkty

A

,

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Prosta

k

jest styczna do tego okręgu w punkcie

A

i tworzy z cięciwą

A B

kąt o mierze

32°

. Ponadto odcinek

A C

jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta rozwartego

B O C

jest równa

B.

116°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

W rombie

A B C D

dłuższa przekątna

A C

ma długość

12

i tworzy z bokiem

A B

kąt o mierze

30°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole rombu

A B C D

jest równe

C.

243

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

2 pkt

Dany jest okrąg

O

o środku w punkcie

S

. Średnica

A B

tego okręgu przecina cięciwę

C D

w punkcie

P

(zobacz rysunek). Ponadto:

∣ P B ∣ = 4

,

∣ P C ∣ = 8

oraz

∣ P D ∣ = 5

.

Oblicz promień okręgu

O

. Zapisz obliczenia.

r = 7

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

5

. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt

P

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma odległości punktu

P

od wszystkich ścian sześcianu

A B C D E F G H

jest równa

A.

15

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

3 pkt

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa

384

. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze

α

taki, że

tg α = \frac{4}{3}

(zobacz rysunek).

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

h_{b} = 10

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

2 pkt

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.

Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy

(- 3)

. Zapisz obliczenia.

840

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

C.

\frac{1}{4}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29.1

1 pkt

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale

[19

dag

, 21

dag

]

.
Pobrano próbę kontrolną liczącą

50

jabłek i następnie zważono każde z nich.
Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie.
Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Spośród

50

zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe

C.

\frac{18}{25}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29.2

1 pkt

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale

[19

dag

, 21

dag

]

.
Pobrano próbę kontrolną liczącą

50

jabłek i następnie zważono każde z nich.
Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie.
Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.

Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Dominanta masy

50

zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa

	ponieważ

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

A3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

4 pkt

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość

12

dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa

18

dm.

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

b = 3

dm,

P = 112, 5

dm

^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie