Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 4851 zł (bez uwzględnienia podatków).
Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa
Dany jest wielomian W(x)=−3x3−x2+kx+1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian W można zapisać w postaci W(x)=(x+1)⋅Q(x) dla pewnego wielomianu Q.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (parabola skierowana ramionami ku górze z wierzchołkiem w punkcie (4,−2) i miejscami zerowymi x=2 oraz x=6). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (parabola skierowana ramionami ku górze z wierzchołkiem w punkcie (4,−2) i miejscami zerowymi x=2 oraz x=6). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zapisz w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (parabola skierowana ramionami ku górze z wierzchołkiem w punkcie (4,−2) i miejscami zerowymi x=2 oraz x=6). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Wzór funkcji f można przedstawić w postaci: ………. oraz ………. .
A. f(x)=21(x−2)(x−6) B. f(x)=21(x−4)2−2 C. f(x)=2(x−2)(x−6) D. f(x)=21(x+4)2−2 E. f(x)=2(x+2)(x+6) F. f(x)=2(x+4)2−2
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (parabola skierowana ramionami ku górze z wierzchołkiem w punkcie (4,−2) i miejscami zerowymi x=2 oraz x=6). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+1). Fragment wykresu funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku
Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze 22°C opisuje funkcja wykładnicza T(x)=78⋅2−0,05x+22, gdzie T(x) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po x minutach liczonych od momentu x=0, w którym zioła zalano wrzątkiem.
Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa
Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem Sn=4⋅(2n−1) dla każdej liczby naturalnej n≥1.
Dane są dwa kąty o miarach α oraz β, spełniające warunki:
α∈(0°,180°) i tgα=−32
oraz
β∈(0°,180°) i cosβ=101.
Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze α oraz kąt o mierze β. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F.
Dane są dwa kąty o miarach α oraz β, spełniające warunki:
α∈(0°,180°) i tgα=−32
oraz
β∈(0°,180°) i cosβ=101.
Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze α oraz kąt o mierze β. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta l o równaniu y=23x−215. Prosta k jest prostopadła do prostej l i przechodzi przez punkt P=(6,0).
Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 32°. Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).
Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α taki, że tgα=34 (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.
Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy (−3). Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
840
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe
W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19dag,21dag]. Pobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie (liczba jabłek o masach: 17dag−2, 18dag−6, 19dag−8, 20dag−17, 21dag−11, 22dag−3, 23dag−3).
Spośród 50 zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe
W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19dag,21dag]. Pobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie (liczba jabłek o masach: 17dag−2, 18dag−6, 19dag−8, 20dag−17, 21dag−11, 22dag−3, 23dag−3).
Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Dominanta masy 50 zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa
ponieważ
A. 20 dag,
1. ta masa jest największa w tej próbie.
2. iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie.
Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18dm.
Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
b=3dm, P=112,5dm2
Podnosimy do potęgi 21:
(3−2)21=3−1=31
B.log230
C.4
D.5
D. 5
Stosujemy wzór na logarytm ilorazu:
log296−log23=log2396=log232=log225=5
C. 4500 zł
Niech K będzie kwotą wpłaconą. Po dwóch latach z kapitalizacją roczną 5%:
K⋅(1,05)2=4851
Obliczamy K:
K=1,10254851=4400
A. ∣x−2∣<5
Środek przedziału (−3,7) to 2−3+7=2, a promień (połowa długości) to 27−(−3)=5. Zatem nierówność przyjmuje postać:
∣x−2∣<5
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Miejsce zerowe: f(x)=0⇒−61x+32=0⇒x=4. Stwierdzenie 1: Prawda.
Punkt przecięcia z osią Oy: f(0)=32, więc punkt to (0,32), nie (0,−61). Stwierdzenie 2: Fałsz.
A.(−∞,−2]
B.(−∞,4]
C.[−2,+∞)
D.[4,+∞)
C. [−2,+∞)
Parabola jest skierowana ramionami ku górze (współczynnik a>0), więc funkcja osiąga minimum w wierzchołku. Wierzchołek ma y-współrzędną −2, zatem zbiór wartości to [−2,+∞).
(2,6)
Funkcja f przyjmuje wartości ujemne między swoimi miejscami zerowymi. Miejsca zerowe to x=2 i x=6, zatem zbiór argumentów to (2,6).
AB
Postać iloczynowa z miejscami zerowymi x1=2, x2=6 i współczynnikiem a:
f(x)=a(x−2)(x−6)
Wyznaczamy a z wierzchołka (4,−2): f(4)=a(2)(−2)=−4a=−2, więc a=21. Postać iloczynowa: f(x)=21(x−2)(x−6) — odpowiedź A.
Postać kanoniczna z wierzchołkiem (4,−2): f(x)=21(x−4)2−2 — odpowiedź B.
A. A
B. B
C. C
D. D
B. B
g(x)=f(x+1) oznacza przesunięcie wykresu f o 1 w lewo. Wierzchołek f w punkcie (4,−2) przesuwa się do (3,−2), miejsca zerowe z x=2,x=6 do x=1,x=5.
A.22°C
B.39°C
C.78°C
D.61°C
D. 61°C
Podstawiamy x=20:
T(20)=78⋅2−0,05⋅20+22=78⋅2−1+22=39+22=61
A.24
B.29
C.36
D.69
A. 24
Różnica ciągu: r=a3−a2=9−4=5.
Szósty wyraz (a6=a3+3r):
a6=9+3⋅5=24
PF
Pierwszy wyraz: a1=S1=4(21−1)=4. Stwierdzenie 1: Prawda.
Drugi wyraz: a2=S2−S1=4(22−1)−4=12−4=8. Stwierdzenie 2: Fałsz (nie 12, lecz 8).
A. (−1)
W ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest średnią geometryczną: 122=(1−2a)⋅48:
144=48(1−2a)⟹3=1−2a⟹a=−1
B
tgα=−32 i α∈(90°,180°) (tangens ujemny, kąt rozwarty). Ramię kąta przechodzi przez punkt o współrzędnych proporcjonalnych do (−3,2), np. punkt B=(−3,2).
D
cosβ=101, więc sinβ=103 (kąt ostry). Ramię przechodzi przez punkt proporcjonalny do (1,3), np. punkt D=(1,3).
A.25
B.32
C.525
D.535
A. 25
Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy cosα:
cos2α=1−sin2α=1−95=94⟹cosα=32
Obliczamy tangens:
tgα=cosαsinα=3235=25
A.y=23x+6
B.y=−32x+6
C.y=23x−9
D.y=−32x+4
D. y=−32x+4
Prostej prostopadłej do prostej o nachyleniu 23 odpowiada nachylenie −32.
Równanie prostej przez punkt P=(6,0):
0=−32⋅6+b⟹b=4⟹y=−32x+4
A.m=(−21)
B.m=41
C.m=23
D.m=2
B. m=41
Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe (i różne wyrazy wolne):
2m−1=−21⟹2m=21⟹m=41
B.(x−4)2+(y+2)2=2
C.(x+4)2+(y−2)2=4
D.(x+4)2+(y−2)2=2
A. (x−4)2+(y+2)2=4
Okrąg styczny do osi Ox ma promień równy odległości środka od osi Ox, czyli r=∣−2∣=2. Równanie:
(x−4)2+(y+2)2=4
A.172
B.173
C.182
D.183
D. 183
Długość boku ∣KL∣:
∣KL∣=(−1−(−7))2+(4−(−2))2=36+36=62
Pole trójkąta równobocznego o boku a:
P=4a23=4(62)23=4723=183
A.148°
B.116°
C.154°
D.122°
B. 116°
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Sześcian ma 3 pary równoległych ścian. Dla każdej pary suma odległości punktu P od obu ścian równa się długości krawędzi =5. Zatem suma odległości od wszystkich 6 ścian:
3⋅5=15
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Iloczyn jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Spośród cyfr 1,2,3,4,5,6 nieparzyste to 1,3,5 — prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej w jednym rzucie to 63=21.
Prawdopodobieństwo, że obie liczby są nieparzyste:
Dominanta to wartość najczęściej występująca. Masa 20dag pojawia się 17 razy — najliczniej spośród wszystkich mas. Zatem dominanta wynosi 20dag, ponieważ ta masa występuje najliczniej w tej próbie (uzasadnienie 3).
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.