Matura podstawowa czerwiec 2020, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} - 6 x + 9

dla

x = 3 + 3

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

\frac{2 ^{50} \cdot 3 ^{40}}{3 6 ^{10}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2^{30} \cdot 3^{20}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

lo g_{5} 125

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Cenę

x

pewnego towaru obniżono o

20%

i otrzymano cenę

y

. Aby przywrócić cenę

x

, nową cenę

y

należy podnieść o

Poprawna odpowiedź

A.

25%

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

3 (1 - x) > 2 (3 x - 1) - 12 x

jest przedział

Poprawna odpowiedź

A.

(- \frac{5}{3}, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

x (x - 3) (x + 2) = 0

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a (x - 1) (x - 3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, 1)

.
Współczynnik

a

we wzorze funkcji

f

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

- 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a (x - 1) (x - 3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, 1)

.
Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ 1, 4 ⟩

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a (x - 1) (x - 3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2, 1)

.
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji

f

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

B.

x = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Równanie

x (x - 2) = (x - 2)^{2}

w zbiorze liczb rzeczywistych

Poprawna odpowiedź

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie:

x = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = a x + b

.
Współczynniki

a

oraz

b

we wzorze funkcji

f

spełniają zależność

Poprawna odpowiedź

D.

a \cdot b < 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 4^{- x} + 1

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Liczba

f (\frac{1}{2})

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Proste o równaniach

y = (m - 2) x

oraz

y = \frac{3}{4} x + 7

są równoległe. Wtedy

Poprawna odpowiedź

C.

m = \frac{11}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2 n^{2}

dla

n \geq 1

. Różnica

a_{5} - a_{4}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

18

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_{n})

, określonym dla

n \geq 1

, czwarty wyraz jest równy

3

, a różnica tego ciągu jest równa

5

. Suma

a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

- 18

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Punkt

A = (\frac{1}{3}, - 1)

należy do wykresu funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f (x) = 3 x + b

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

D.

b = - 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

,

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Kąt środkowy

D O C

ma miarę

118°

(zobacz rysunek).
Miara kąta

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

31°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Prosta przechodząca przez punkty

A = (3, - 2)

i

B = (- 1, 6)

jest określona równaniem

Poprawna odpowiedź

A.

y = - 2 x + 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych

α

i

β

(zobacz rysunek).
Wyrażenie

2 cos α - sin β

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

cos α

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Punkt

B

jest obrazem punktu

A = (- 3, 5)

w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka

A B

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

234

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr:

1, 3, 5, 7, 9

, w których cyfry się nie powtarzają?

Poprawna odpowiedź

C.

20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Pole prostokąta

A B C D

jest równe

90

. Na bokach

A B

i

C D

wybrano – odpowiednio – punkty

P

i

R

, takie, że

\frac{∣ A P ∣}{∣ P B ∣} = \frac{∣ C R ∣}{∣ R D ∣} = \frac{3}{2}

(zobacz rysunek).
Pole czworokąta

A P C R

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

54

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Cztery liczby:

2

,

3

,

a

,

8

, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych:

5

,

3

,

6

,

8

,

2

. Zatem

Poprawna odpowiedź

A.

a = 7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Przekątna sześcianu ma długość

43

. Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

96

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy

3 : 2

. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa

12 cm^{3}

.
Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

30 cm^{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

2 (x - 1) (x + 3) > x - 1

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (1, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Rozwiąż równanie

(x^{2} - 1) (x^{2} - 2 x) = 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in {- 1, 0, 1, 2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych

a

i

b

prawdziwa jest nierówność

a (a - 2 b) + 2 b^{2} > 0

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Trójkąt

A B C

jest równoboczny. Punkt

E

leży na wysokości

C D

tego trójkąta oraz

∣ C E ∣ = \frac{3}{4} ∣ C D ∣

. Punkt

F

leży na boku

B C

i odcinek

E F

jest prostopadły do

B C

(zobacz rysunek).
Wykaż, że

∣ C F ∣ = \frac{9}{16} ∣ C B ∣

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{11}{36}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

\frac{2 sin α + 3 cos α}{cos α} = 4

. Oblicz tangens kąta

α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

tg α = \frac{1}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

Dany jest kwadrat

A B C D

, w którym

A = (5, - \frac{5}{3})

. Przekątna

B D

tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu

y = \frac{4}{3} x

. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych

A C

i

B D

oraz pole kwadratu

A B C D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

O = (1, \frac{4}{3})

,

P = 50

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek

6 a_{1} - 5 a_{2} + a_{3} = 0

. Oblicz iloraz

q

tego ciągu należący do przedziału

⟨ 22, 32 ⟩

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

q = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

, którego krawędź boczna ma długość

6

(zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy

7

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = \frac{32 7}{3}

Rozwiązanie krok po kroku