Matura rozszerzona czerwiec 2022

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Wiadomo, że

lo g_{5} 2 = a

lo g_{5} 3 = b

. Wtedy liczba

lo g_{18} 40

jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{3 a + 1}{2 b + a}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Granica

x \to - 3 lim \frac{0 , 5 x ^{2} + 3 , 5 x + 6}{- x ^{2} + 2 x + 15}

jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{16}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Sumą wektorów

a = [2 + 2 m, \frac{2}{3} n + 1]

oraz

b = [n + 1, m + 2]

jest wektor

c = [0, 0]

.
Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

m = 3

n = - 9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Pole trójkąta ostrokątnego o bokach

5

8

jest równe

12

. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

Poprawna odpowiedź

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Wśród

390

pracowników pewnej firmy jest

150

kobiet i

240

mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest

21

kobiet i

43

mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym – pod warunkiem że jest mężczyzną.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = \frac{43}{240}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

, spełniona jest nierówność

x^{4} + y^{4} > x y (x^{2} + y^{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność

x^{4} + y^{4} > x y (x^{2} + y^{2})

jest prawdziwa dla każdych

x, y

takich, że

x \neq = y

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

27500

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

3 pkt

Rozwiąż nierówność

\frac{3 x + 1}{2 x + 1} \leq \frac{3 x + 4}{2 x + 3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

3 pkt

W trapezie

A B C D

o podstawach

A B

C D

przez punkt

O

przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków

B C

A D

. Prosta równoległa do boku

B C

przecina bok

A B

w punkcie

B^{'}

, a prosta równoległa do boku

A D

przecina bok

A B

w punkcie

A^{'}

. Wykaż, że

∣ A A^{'} ∣ = ∣ B B^{'} ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zależność

∣ A A^{'} ∣ = ∣ B B^{'} ∣

jest prawdziwa (dowód powyżej).

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, którego iloraz

q

jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek

∣ q ∣ < 1

.
Stosunek sumy

S_{N}

wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy

S_{P}

wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj.

\frac{S _{N}}{S _{P}} = S_{N} - S_{P}

. Oblicz

q

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

q = \frac{1 - 5}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

4 pkt

Rozwiąż równanie

cos (3 x) + 3 sin (3 x) + 1 = 0

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in {\frac{π}{3}, π, \frac{5}{9} π}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

jest trapez równoramienny

A B C D

wpisany w okrąg o środku

O

i promieniu

R

. Dłuższa podstawa

A B

trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza – cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze

2 α

(zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

α

.Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia

R

i miary kąta

α

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = R^{3} sin α (1 + sin α) 2 - 2 sin α

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

(x - 4) [x^{2} + (m - 3) x + m^{2} - m - 6] = 0

ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

oraz

x_{3}

, spełniające warunek

x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} > x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - 5 m - 51

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (- \frac{11}{3}, \frac{- 3 - 17}{2}) \cup (\frac{- 3 - 17}{2}, - 2) \cup (1, 3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

6 pkt

Dane są okrąg

o_{1}

o równaniu

(x - 6)^{2} + (y - 4)^{2} = 98

oraz okrąg

o_{2}

o promieniu

25

. Środki okręgów

o_{1}

o_{2}

leżą po różnych stronach prostej

k

o równaniu

y = - 3 x - 6

, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej

k

. Wyznacz równanie okręgu

o_{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.1

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Wykaż, że pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.2

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

. Wyznacz dziedzinę funkcji

P

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (0, 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.3

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne

A B C

(

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

), na których opisano okrąg o promieniu

R = 1

. Niech

x

oznacza odległość środka okręgu od podstawy

A B

trójkąta. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

x

, wyraża się wzorem

P (x) = (x + 1) \cdot 1 - x^{2}

dla

x \in (0, 1)

. Oblicz długość odcinka

x

tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{1}{2}

, największe pole

P = \frac{3 3}{4}

Rozwiązanie krok po kroku