W prostokątnym układzie współrzędnych (x,y) dane są odcinki AB oraz CD. Końcami tych odcinków są – odpowiednio – punkty: A=(0,0), B=(0,4) oraz C=(−2,0), D=(6,0).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Na klombie rośnie 150 tulipanów. Każdy z nich ma kwiat w jednym z trzech kolorów: w czerwonym, w żółtym albo w białym. Wśród tych kwiatów 51 ma kolor czerwony i 31 ma kolor żółty.
Oblicz, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych tulipanów na tym klombie. Zapisz obliczenia.
Gra polega na rzucaniu piłką do kosza. Jeśli rzut jest celny, to liczba dotychczas zdobytych punktów jest zwiększana o 5 punktów. Jeśli rzut jest nietrafiony, to liczba dotychczas zdobytych punktów jest zmniejszana o 4 punkty. Janek rozpoczął grę z wynikiem 0 punktów. Liczba celnych rzutów Janka jest trzy razy większa niż liczba rzutów, w których Janek nie trafił piłką do kosza. W rezultacie Janek zgromadził 132 punkty.
Oblicz, ile razy Janek trafił piłką do kosza. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
36
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
W sklepie ogłoszono dwie promocje przy zakupie szamponu Pięć ziół (zobacz rysunek).
Szampon Pięć ziół Pojemność butelki 500 ml Drugi taki sam produkt o 40% taniej
Szampon Pięć ziół Pojemność butelki 250 ml Czwarty taki sam produkt za 1 zł
Ola i Ania kupiły szampony Pięć ziół w cenie promocyjnej. Ola kupiła dwie butelki o pojemności 500 ml i zapłaciła 24 zł. Ania kupiła cztery butelki o pojemności 250 ml i zapłaciła 23,50 zł.
Czy w tym sklepie koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach o pojemności 500 ml oraz koszt zakupu bez promocji jednego litra tego szamponu w butelkach o pojemności 250 ml jest taki sam? Zapisz obliczenia.
Proste k i l są równoległe. Na prostej l zaznaczono punkty D, A, B, a na prostej k zaznaczono punkty C i E. Odcinek CD jest prostopadły do prostych k i l. Kąt ACD ma miarę 40° i kąt ECB ma miarę 26° (zobacz rysunek).
Czy trójkąt ABC jest równoramienny? Odpowiedź uzasadnij.
Dany jest trapez prostokątny ABCD, którego długość boku BC jest równa 8 cm, a kąt DAB ma miarę 45° (zobacz rysunek). Długość boku AB jest trzy razy większa od długości boku CD.
W graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta prostokątnego najkrótsza krawędź podstawy ma długość 5 cm. Ściana boczna tego graniastosłupa o największej powierzchni jest kwadratem o polu 169 cm2.
Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
V=390 cm3
10+8+0+4+12+5=39
Średnia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę lat:
639=6,5
A, D
Kwotę dzielimy na 6+3+1=10 równych części.
Obliczamy wartość jednej części:
1800:10=180
Nagroda za III miejsce to jedna część, czyli 180 złotych (odpowiedź A).
Nagroda za I miejsce to 6 części, a nagroda za II miejsce to 3 części. Obliczamy, ile razy większa jest nagroda za I miejsce:
36=2
Nagroda za I miejsce jest więc 2 razy większa od nagrody za II miejsce (odpowiedź D).
B.−1
C.41
D.21
C. 41
Redukujemy nawiasy po obu stronach równania:
3(x+2)=3x+66−(x−1)=7−x
Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe:
3x+6=7−x4x=1x=41
A. I
B. II
C. III
D. IV
B. II
Sprowadzamy wszystkie wyrażenia do potęg liczby 2:
Porównujemy wykładniki: największy jest 26, więc największą wartość ma wyrażenie II (odpowiedź B).
D. 10
Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej nie może być zerem, a suma wszystkich cyfr to 3, więc pierwsza cyfra to 1, 2 albo 3. Rozważamy każdy z tych przypadków osobno.
Gdy pierwsza cyfra to 3: pozostałe trzy cyfry muszą sumować się do 0, więc jest to tylko liczba 3000 — 1 możliwość.
Gdy pierwsza cyfra to 2: pozostałe trzy cyfry sumują się do 1, czyli dokładnie jedna z nich to 1, a pozostałe to 0 — liczby 2100, 2010, 2001, czyli 3 możliwości.
Gdy pierwsza cyfra to 1: pozostałe trzy cyfry sumują się do 2 — możliwe trójki cyfr to (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), czyli 6 możliwości.
Łącznie liczba czterocyfrowych liczb spełniających warunek jest równa:
1+3+6=10
A.4
B.2
C.−2
D.−4
C. −2
Obliczamy pierwiastki w liczniku:
100−36=10−6=4
Obliczamy pierwiastek sześcienny w mianowniku:
3−8=−2
Dzielimy licznik przez mianownik:
−24=−2
B. 3
Zapisujemy sumę trzech kolejnych liczb naturalnych i upraszczamy wyrażenie:
n+(n+1)+(n+2)=3n+3
Wyłączamy 3 przed nawias:
3n+3=3(n+1)
Ponieważ n jest liczbą naturalną, to (n+1) też jest liczbą naturalną, więc suma 3(n+1) jest zawsze podzielna przez 3 (odpowiedź B).
A.51
B.61
C.4
D.7
B, D
Kwiecień ma 30 dni, więc wszystkich możliwych wyników losowania jest 30.
Wtorki w tym kalendarzu wypadają 2, 9, 16, 23 i 30 dnia miesiąca, czyli jest ich 5. Obliczamy prawdopodobieństwo:
P=305=61
To odpowiada literze B.
Aby prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez pewną liczbę było równe 152, liczba dni spełniających warunek musi wynosić:
152⋅30=4
Wśród liczb od 1 do 30 dokładnie 4 liczby są podzielne przez 7: 7,14,21,28. Zatem szukaną liczbą jest 7, co odpowiada literze D.
A. I oraz II
B. II oraz III
C. I oraz IV
D. III oraz IV
C. I oraz IV
Obliczamy wyrażenie I, zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:
232=38⟹1−38⋅3=1−8=−7
Wartość wyrażenia I to liczba całkowita −7.
Obliczamy wyrażenie II:
3,4−241=3,4−2,25=1,15
Wartość wyrażenia II nie jest liczbą całkowitą.
Obliczamy wyrażenie III:
343−4,25=3,75−4,25=−0,5
Wartość wyrażenia III nie jest liczbą całkowitą.
Obliczamy wyrażenie IV:
6:1,2=5
Wartość wyrażenia IV to liczba całkowita 5. Liczbami całkowitymi są więc wartości wyrażeń I oraz IV.
B.12hkm
C.16,8hkm
D.21hkm
D. 21hkm
Obliczamy czas trwania wycieczki: od 11:40 do 13:00 minęła 1 godzina i 20 minut. Zamieniamy to na godziny:
1h20min=16020h=34h
Prędkość obliczamy, dzieląc drogę przez czas:
v=ts=3428=28⋅43=21
Prędkość Ali była równa 21hkm.
FP
Obliczamy długość odcinka AB (leży on na osi y):
∣AB∣=4−0=4
Obliczamy długość odcinka CD (leży on na osi x):
∣CD∣=6−(−2)=8
Odcinki mają różne długości (4=8), więc pierwsze zdanie jest fałszywe (F).
Odcinek AB leży na osi y (jest pionowy), a odcinek CD leży na osi x (jest poziomy). Oś y jest prostopadła do osi x, więc odcinki AB i CD też są prostopadłe – drugie zdanie jest prawdziwe (P).
A.32
B.48
C.24
D.22
A. 32
Ponieważ przekątna BD jest prostopadła do boku AD, trójkąt ABD jest prostokątny, z przyprostokątnymi AD=6 i BD=8. Bok AB jest przeciwprostokątną tego trójkąta – obliczamy jego długość z twierdzenia Pitagorasa:
AB=AD2+BD2=62+82=36+64=100=10
W równoległoboku boki przeciwległe mają równe długości, więc BC=AD=6 oraz CD=AB=10. Obliczamy obwód:
Obw=2⋅(AD+AB)=2⋅(6+10)=32
PF
Po usunięciu AF i AB znika lewy trójkąt, a zostaje tylko jedna (pozioma) oś symetrii – zdanie prawdziwe (P).
Po usunięciu samego FE obie strony wciąż są swoimi lustrzanymi odbiciami – pionowa oś symetrii zostaje, więc zdanie jest fałszywe (F).
C.125cm2
D.150cm2
D. 150cm2
Siatka sześcianu składa się z 6 przystających kwadratów (ścian). Aby dało się ją złożyć w sześcian, sąsiednie kwadraty muszą łączyć się dokładnie 5 wspólnymi bokami. Każdy kwadrat ma 4 boki, więc łączna liczba boków wszystkich kwadratów to 6⋅4=24, ale 5 z nich to boki wspólne, liczone przy tym podwójnie. Liczba boków tworzących obwód (brzeg) całej siatki wynosi więc:
24−2⋅5=14
Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez a. Obwód siatki to 14 takich boków, więc:
14a=70⟹a=5
Pole powierzchni całkowitej sześcianu to suma pól jego 6 ścian:
P=6a2=6⋅52=6⋅25=150
157
Obliczamy, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowią razem czerwone i żółte tulipany:
51+31=153+5=158
Pozostałą część, czyli udział białych tulipanów, obliczamy jako uzupełnienie do całości:
1−158=1515−8=157
Liczba białych tulipanów stanowi 157 liczby wszystkich tulipanów na tym klombie.
Tak, w obu przypadkach koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu wynosi 30 zł.
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.