Matura podstawowa czerwiec 2023 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

6^{30} : 4^{15}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

3^{30}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

iloczyn

x \cdot 3 x \cdot 6 x

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

x

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Klient wpłacił do banku

30000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

7%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

4347

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

lo g_{2} \frac{1}{8} + lo g_{2} 4

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

(- 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Liczba

(1 + 5)^{2} - (1 - 5)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

45

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Do zbioru rozwiązań nierówności

(x - 3) (x - 2) (x + 20) < 0

należy liczba

Poprawna odpowiedź

B.

(- 23)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Informacja do zadań 7.–8.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

.

Dziedziną funkcji

f

jest zbiór

Poprawna odpowiedź

C.

(- 5, - 1) \cup (1, 5)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Informacja do zadań 7.–8.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

.

Zbiorem wartości funkcji

f

jest zbiór

Poprawna odpowiedź

B.

⟨ - 3, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, 3 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x ^{2} + 4}{x - 2}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 2

.
Wartość funkcji

f

dla argumentu

4

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Prosta o równaniu

y = a x + b

przechodzi przez punkty

A = (- 3, - 1)

oraz

B = (4, 3)

.
Współczynnik

a

w równaniu tej prostej jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{4}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Wykresy funkcji liniowych

f (x) = (2 m + 3) x + 5 oraz g (x) = - x

nie mają punktów wspólnych dla

Poprawna odpowiedź

A.

m = - 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + 1

, gdzie

a

oraz

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że

a < 0

i

b > 0

. Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji.
Fragment wykresu funkcji

f

przedstawiono na rysunku

A.

B.

C.

D.

Poprawna odpowiedź

D.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{n - 2}{3}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od

10

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

31

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony wzorem

a_{n} = - 2^{n}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest

Poprawna odpowiedź

C. ciągiem geometrycznym o ilorazie

2

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(1, 4, a + 5)

jest arytmetyczny.
Liczba

a

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

. W tym ciągu

a_{1} = 3, 75

oraz

a_{2} = - 7, 5

.
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

11, 25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Dla każdego kąta ostrego

α

wyrażenie

cos α - cos α \cdot sin^{2} α

jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

cos^{3} α

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Cosinus kąta ostrego

α

jest równy

\frac{2}{3}

. Wtedy

tan α

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{5}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Na łukach

A B

i

C D

okręgu są oparte kąty wpisane

A D B

i

D B C

, takie że

∣∠ A D B ∣ = 20°

i

∣∠ D B C ∣ = 40°

(zobacz rysunek). Cięciwy

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

K

.

Miara kąta

D K C

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

60°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Pole równoległoboku

A B C D

jest równe

406

. Bok

A D

tego równoległoboku ma długość

10

, a kąt

A B C

równoległoboku ma miarę

135°

(zobacz rysunek).

Długość boku

A B

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

83

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Odcinek

A B

jest średnicą okręgu o środku

S

. Prosta

k

jest styczna do tego okręgu w punkcie

A

. Prosta

l

przecina ten okrąg w punktach

B

i

C

. Proste

k

i

l

przecinają się w punkcie

D

, przy czym

∣ B C ∣ = 4

i

∣ C D ∣ = 3

(zobacz rysunek).

Odległość punktu

A

od prostej

l

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = - x + 1

. Funkcja

g

jest liniowa.
W prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji

g

przechodzi przez punkt

P = (0, - 1)

i jest prostopadły do wykresu funkcji

f

.
Wzorem funkcji

g

jest

Poprawna odpowiedź

D.

g (x) = x - 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Dane są punkty

A = (1, 7)

oraz

P = (3, 1)

. Punkt

P

dzieli odcinek

A B

tak, że

∣ A P ∣ : ∣ P B ∣ = 1 : 3

.
Punkt

B

ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

B.

(9, - 17)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Punkty

A = (- 1, 5)

oraz

C = (3, - 3)

są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu

A B C D

.
Pole kwadratu

A B C D

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

40

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Punkt

S^{'} = (3, 7)

jest obrazem punktu

S = (3 a - 1, b + 7)

w symetrii osiowej względem osi

O x

układu współrzędnych, gdy

Poprawna odpowiedź

B.

a = \frac{4}{3}

oraz

b = - 14

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości

8

jest równa

23

. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny

A B C D E F A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'} F^{'}

, w którym krawędź podstawy ma długość

5

. Przekątna

A D^{'}

tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

45°

(zobacz rysunek).

Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

50

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Średnia arytmetyczna zestawu pewnych stu liczb całkowitych dodatnich jest równa

s

. Każdą z liczb tego zestawu zwiększamy o

4

, w wyniku czego otrzymujemy nowy zestaw stu liczb.
Średnia arytmetyczna nowego zestawu stu liczb jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

s + 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej

3

jest

Poprawna odpowiedź

D.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (2 x - 1) < 2 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (0, \frac{3}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Rozwiąż równanie

(2 x^{2} + 3 x) (x^{2} - 7) = 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 7

lub

x = - \frac{3}{2}

lub

x = 0

lub

x = 7

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

takiej, że

b \neq = a

, prawdziwa jest nierówność

a^{2} + 3 b^{2} + 4 > 2 a + 6 b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność

(a - 1)^{2} + 3 (b - 1)^{2} > 0

jest prawdziwa dla

b \neq = a

, więc wyjściowa nierówność również jest prawdziwa.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

A = (0, 3)

. Punkt

B = (2, 0)

leży na wykresie funkcji

f

.
Wyznacz wzór funkcji

f

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = - \frac{3}{4} x^{2} + 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

W trójkącie prostokątnym równoramiennym

A B C

o przeciwprostokątnej

B C

punkt

D

jest środkiem ramienia

A B

. Odcinek

C D

ma długość

5

(zobacz rysunek).

Oblicz obwód trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

L = 45 + 210

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

2 pkt

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych (od

1

do

8

) losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie.
Niech

A

oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby

8

.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{1}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 36

5 pkt

W trapezie równoramiennym

A B C D

podstawa

C D

ma długość

5

. Punkt

F = (3, 11)

jest środkiem odcinka

C D

. Prosta o równaniu

y = - \frac{4}{3} x + 15

jest osią symetrii tego trapezu oraz

B = (\frac{23}{2}, 8)

.
Oblicz współrzędne wierzchołka

A

oraz pole tego trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

A = (\frac{7}{2}, 2)

,

P = \frac{225}{4}

Rozwiązanie krok po kroku