Matura podstawowa maj 2026, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

\frac{25}{8} \cdot 2 + 2^{- 1}

jest równa

C.

3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Klient wpłacił do banku

10000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

6%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

B.

1236

zł

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

55

jest równa

C.

5^{\frac{3}{4}}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

lo g_{8} 4 - lo g_{8} 32

jest równa

B.

(- 1)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20$ .
Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest w zapisie dziesiętnym liczbą $25$ -cyfrową.

PP

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} + 10 x + 25

dla

x = 2 - 5

jest równa

A.

2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n

liczba

7 n^{2} + 21 n

jest podzielna przez

14

.

Liczba

7 n^{2} + 21 n

jest podzielna przez

7

i przez

2

, więc jest podzielna przez

14

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

1 pkt

Dane jest równanie

3 (x + 3) (x - m) (2 x + 4) = 0

gdzie

x

jest niewiadomą, natomiast

m

jest pewną liczbą rzeczywistą.
Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa

0

.

Liczba

m

jest równa

C.

5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

1 pkt

Rozwiązaniem równania

\frac{x + 2}{3 x - 1} = \frac{2}{5}

jest liczba

D.

12

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} + 4 x \geq 6 x + 8

Zapisz obliczenia.

x \in (- \infty, - \frac{4}{3}] \cup [2, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

2 pkt

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	$35$
Ulgowy	$25$

Na to przedstawienie sprzedano łącznie

200

biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości

25%

wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało

4665

zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

78

biletów ulgowych

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12.1

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {x + 2 - x + 5 dla x \in [- 4, 2] dla x \in (2, 5)

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Rozwiązaniem równania

f (x) = 3

jest liczba ___.
2. Największa wartość funkcji

f

w przedziale

[2, 3]

jest równa ___.

1.

x = 1

; 2. Największa wartość

= 4

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12.2

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {x + 2 - x + 5 dla x \in [- 4, 2] dla x \in (2, 5)

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości większe od

1

, jest przedział ___.

1.

[- 2, 4]

; 2.

(- 1, 4)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13.1

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, gdzie

a

i

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

O x

układu współrzędnych pod kątem o mierze

α

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.
Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.

FF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13.2

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, gdzie

a

i

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

O x

układu współrzędnych pod kątem o mierze

α

(zobacz rysunek).

Tangens kąta o mierze

α

jest równy

A.

(- \frac{3}{2})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (3, - 2)

.
Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g (x) = f (x + 1)

.
Jednym z miejsc zerowych funkcji

g

jest liczba

0

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{5}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

3 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Trzywyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{9}, a_{k})

jest geometryczny.

Oblicz

k

. Zapisz obliczenia.

k = 41

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
W tym ciągu

a_{1} = 1

oraz

a_{5} = 17

.

Dziewiąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

B.

33

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek

a_{3} \cdot a_{6} = 18

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn

a_{2} \cdot a_{7}

jest równy ___.

18

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

A C

jest przeciwprostokątną oraz

∣ B C ∣ = 2

i

∣ A C ∣ = 210

. Oznaczmy kąt

B C A

przez

γ

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

γ

jest równy

C.

\frac{3}{10}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

.
Punkt

B

leży na krótszym łuku

A C

.
Kąt

C D A

ma miarę

50°

, a kąt

C O B

ma miarę

30°

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

B O A

jest równa

C.

70°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

Na płaszczyźnie dane są cztery proste:

k

,

l

,

m

oraz

n

. Proste

k

oraz

l

są równoległe.
Prosta

m

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

A

oraz

C

.
Prosta

n

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

D

oraz

B

.
Odcinki

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

O

.
Ponadto

∣ O A ∣ = 12

,

∣ O B ∣ = 6

oraz

∣ O C ∣ = 8

(zobacz rysunek).

Odcinek

O D

ma długość

B.

9

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

2 pkt

Dany jest trójkąt

K L M

, w którym

∣ K M ∣ = a

oraz

∣ L M ∣ = b

.
Dwusieczna kąta

L M K

przecina bok

K L

w punkcie

N

(zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta

K N M

do pola trójkąta

N L M

jest równy

\frac{a}{b}

.

\frac{P _{K N M}}{P _{N L M}} = \frac{a}{b}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

W okrąg

O

o promieniu

93

wpisano trójkąt równoboczny

T

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Bok trójkąta

T

ma długość ___.

27

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

\frac{3 sin α + 4 cos α}{4 cos α} = 6

.

Tangens kąta

α

jest równy

D.

\frac{20}{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, - 3)

,

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

B.

5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, - 3)

,

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Środek okręgu opisanego na trójkącie

A B C

ma współrzędne

D.

(0, - \frac{1}{2})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o środku w punkcie

S = (1, - 3)

i o promieniu

5

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Punkt $A = (4, - 7)$ leży na okręgu $O$ .
Okrąg $O$ jest określony równaniem $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$ .

PF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = - \frac{1}{3} x + 2

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przechodzi przez punkt

(2, - 2)

.

Prosta

l

przecina oś

O y

w punkcie

D.

(0, - \frac{4}{3})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

2 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość

83

. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

30°

.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

V = 128

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

1 pkt

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

D.

\frac{4}{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

(np.:

321

,

555

), jest

A.

6 \cdot 7 \cdot 3

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

2 pkt

Dane są dwa zbiory cyfr:

X = {1, 3, 5, 7, 9}

oraz

Y = {0, 2, 4, 6, 8}

.
Losujemy jedną cyfrę ze zbioru

X

, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru

Y

.
Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru

X

jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru

Y

jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez

6

. Zapisz obliczenia.

P (A) = \frac{9}{25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31

1 pkt

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.
Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.

PP

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 32

1 pkt

Średnia arytmetyczna trzech liczb:

a

,

b

,

c

, jest równa

2

.
Średnia arytmetyczna czterech liczb:

d

,

e

,

f

,

g

, jest równa

5, 5

.

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

f

,

g

, jest równa

C.

4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33.1

1 pkt

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.
Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

gdzie:
• czas

t

jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
• wysokość

h

jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

D.

t = 3

s

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 33.2

1 pkt

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.
Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

gdzie:
• czas

t

jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
• wysokość

h

jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

A.

t = 1, 5

s

Zobacz rozwiązanie