Matura podstawowa maj 2026, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

\frac{25}{8} \cdot 2 + 2^{- 1}

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Klient wpłacił do banku

10000

zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości

6%

od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.

Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

1236

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

55

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5^{\frac{3}{4}}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

lo g_{8} 4 - lo g_{8} 32

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

(- 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest podzielna przez $20$ .	P	F
Liczba naturalna $4^{12} \cdot 5^{24}$ jest w zapisie dziesiętnym liczbą $25$ -cyfrową.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Wartość wyrażenia

x^{2} + 10 x + 25

dla

x = 2 - 5

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

n

liczba

7 n^{2} + 21 n

jest podzielna przez

14

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Liczba

7 n^{2} + 21 n

jest podzielna przez

7

i przez

2

, więc jest podzielna przez

14

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Dane jest równanie

3 (x + 3) (x - m) (2 x + 4) = 0

gdzie

x

jest niewiadomą, natomiast

m

jest pewną liczbą rzeczywistą.
Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa

0

.

Liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Rozwiązaniem równania

\frac{x + 2}{3 x - 1} = \frac{2}{5}

jest liczba

Poprawna odpowiedź

D.

12

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} + 4 x \geq 6 x + 8

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{4}{3}] \cup [2, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

2 pkt

Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.

CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu	Cena w złotych
Normalny	$35$
Ulgowy	$25$

Na to przedstawienie sprzedano łącznie

200

biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości

25%

wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało

4665

zł.

Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

78

biletów ulgowych

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.1

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {x + 2 - x + 5 dla x \in [- 4, 2] dla x \in (2, 5)

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Rozwiązaniem równania

f (x) = 3

jest liczba ___.
2. Największa wartość funkcji

f

w przedziale

[2, 3]

jest równa ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

x = 1

; 2. Największa wartość

= 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.2

2 pkt

Funkcja

f

jest określona następująco:

f (x) = {x + 2 - x + 5 dla x \in [- 4, 2] dla x \in (2, 5)

Wykres funkcji

y = f (x)

przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
1. Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział ___.
2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja

f

przyjmuje wartości większe od

1

, jest przedział ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

1.

[- 2, 4]

; 2.

(- 1, 4)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.1

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, gdzie

a

i

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

O x

układu współrzędnych pod kątem o mierze

α

(zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F
Współczynnik $b$ we wzorze funkcji $f$ jest liczbą dodatnią.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

FF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.2

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, gdzie

a

i

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji

f

z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji

f

jest nachylony do osi

O x

układu współrzędnych pod kątem o mierze

α

(zobacz rysunek).

Tangens kąta o mierze

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

(- \frac{3}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

wykresem funkcji kwadratowej

f

jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (3, - 2)

.
Funkcja kwadratowa

g

jest określona za pomocą funkcji

f

wzorem

g (x) = f (x + 1)

.
Jednym z miejsc zerowych funkcji

g

jest liczba

0

.

Wyznacz wzór funkcji

f

w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + \frac{5}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

3 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 3 n + 5

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Trzywyrazowy ciąg

(a_{1}, a_{9}, a_{k})

jest geometryczny.

Oblicz

k

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

k = 41

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
W tym ciągu

a_{1} = 1

oraz

a_{5} = 17

.

Dziewiąty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

33

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek

a_{3} \cdot a_{6} = 18

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Iloczyn

a_{2} \cdot a_{7}

jest równy ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

18

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

A C

jest przeciwprostokątną oraz

∣ B C ∣ = 2

i

∣ A C ∣ = 210

. Oznaczmy kąt

B C A

przez

γ

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

γ

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{3}{10}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Punkty

A

,

B

,

C

oraz

D

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

.
Punkt

B

leży na krótszym łuku

A C

.
Kąt

C D A

ma miarę

50°

, a kąt

C O B

ma miarę

30°

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

B O A

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

70°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Na płaszczyźnie dane są cztery proste:

k

,

l

,

m

oraz

n

. Proste

k

oraz

l

są równoległe.
Prosta

m

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

A

oraz

C

.
Prosta

n

przecina proste

k

oraz

l

w punktach – odpowiednio –

D

oraz

B

.
Odcinki

A C

i

B D

przecinają się w punkcie

O

.
Ponadto

∣ O A ∣ = 12

,

∣ O B ∣ = 6

oraz

∣ O C ∣ = 8

(zobacz rysunek).

Odcinek

O D

ma długość

Poprawna odpowiedź

B.

9

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

2 pkt

Dany jest trójkąt

K L M

, w którym

∣ K M ∣ = a

oraz

∣ L M ∣ = b

.
Dwusieczna kąta

L M K

przecina bok

K L

w punkcie

N

(zobacz rysunek).

Wykaż, że stosunek pola trójkąta

K N M

do pola trójkąta

N L M

jest równy

\frac{a}{b}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{P _{K N M}}{P _{N L M}} = \frac{a}{b}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

W okrąg

O

o promieniu

93

wpisano trójkąt równoboczny

T

.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Bok trójkąta

T

ma długość ___.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

27

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

\frac{3 sin α + 4 cos α}{4 cos α} = 6

.

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{20}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, - 3)

,

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (0, - 3)

,

B = (2, 1)

oraz

C = (0, 2)

są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

Środek okręgu opisanego na trójkącie

A B C

ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

D.

(0, - \frac{1}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest okrąg

O

o środku w punkcie

S = (1, - 3)

i o promieniu

5

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Punkt $A = (4, - 7)$ leży na okręgu $O$ .	P	F
Okrąg $O$ jest określony równaniem $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5$ .	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PF

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dana jest prosta

k

o równaniu

y = - \frac{1}{3} x + 2

. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i przechodzi przez punkt

(2, - 2)

.

Prosta

l

przecina oś

O y

w punkcie

Poprawna odpowiedź

D.

(0, - \frac{4}{3})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość

83

. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

30°

.

Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 128

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca.

Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

(np.:

321

,

555

), jest

Poprawna odpowiedź

A.

6 \cdot 7 \cdot 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Dane są dwa zbiory cyfr:

X = {1, 3, 5, 7, 9}

oraz

Y = {0, 2, 4, 6, 8}

.
Losujemy jedną cyfrę ze zbioru

X

, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru

Y

.
Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru

X

jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru

Y

jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez

6

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{9}{25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

1 pkt

Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.
Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.

Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.	P	F

1.

2.

Poprawna odpowiedź

PP

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

1 pkt

Średnia arytmetyczna trzech liczb:

a

,

b

,

c

, jest równa

2

.
Średnia arytmetyczna czterech liczb:

d

,

e

,

f

,

g

, jest równa

5, 5

.

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

a

,

b

,

c

,

d

,

e

,

f

,

g

, jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33.1

1 pkt

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.
Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

gdzie:
• czas

t

jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
• wysokość

h

jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili

Poprawna odpowiedź

D.

t = 3

s

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33.2

1 pkt

W chwili

t = 0

z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.
Przyjmijmy, że wysokość

h

, na której znajduje się piłeczka w danej chwili

t

, jest określona wzorem

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 14, 7 t

gdzie:
• czas

t

jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od

0

do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię
• wysokość

h

jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.

Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili

Poprawna odpowiedź

A.

t = 1, 5

s

Rozwiązanie krok po kroku