Klient wpłacił do banku 10000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.
CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu
Cena w złotych
Normalny
35
Ulgowy
25
Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.
Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania f(x)=3 jest liczba ___. 2. Największa wartość funkcji f w przedziale [2,3] jest równa ___.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ___. 2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od 1, jest przedział ___.
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Współczynnik a we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią.
P
F
Współczynnik b we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią.
Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(3,−2). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f wzorem g(x)=f(x+1). Jednym z miejsc zerowych funkcji g jest liczba 0.
Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę 50°, a kąt COB ma miarę 30° (zobacz rysunek).
Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste k oraz l w punktach – odpowiednio – A oraz C. Prosta n przecina proste k oraz l w punktach – odpowiednio – D oraz B. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto ∣OA∣=12, ∣OB∣=6 oraz ∣OC∣=8 (zobacz rysunek).
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=−31x+2. Prosta l jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt (2,−2).
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 83. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°.
Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Dane są dwa zbiory cyfr: X={1,3,5,7,9} oraz Y={0,2,4,6,8}. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru Y. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru X jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru Y jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6. Zapisz obliczenia.
Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.
P
F
Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B.
W chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem
h(t)=−4,9t2+14,7t
gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.
Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili
W chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem
h(t)=−4,9t2+14,7t
gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.
Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili
Poprawna odpowiedź
Zamieniamy 2−1=21 i dodajemy:
25+21=3
B. 1236 zł
Obliczamy kapitał po dwóch latach kapitalizacji ze wzoru na procent składany:
10000⋅(1+6%)2=10000⋅(1,06)2=10000⋅1,1236=11236
Odsetki to różnica między kapitałem końcowym a wpłaconym:
11236−10000=1236
A.541
B.521
C.543
D.5
C. 543
Zapisujemy składnik wewnątrz pierwszego pierwiastka jako potęgi o wykładnikach wymiernych:
55=51⋅521=523
Teraz to samo z zewnętrznym pierwiastkiem:
523=(523)21=523⋅21=543
C.1
D.2
B. (−1)
Stosujemy wzór na logarytm ilorazu:
log84−log832=log8324=log881
Obliczamy logarytm:
log881=log88−1=−1
PP
Zapisujemy 412=(22)12=224, więc:
412⋅524=224⋅524=(2⋅5)24=1024
Liczba 1024=224⋅524 jest podzielna przez 20=22⋅5, bo wynik ich dzielenia jest liczbą całkowitą:
Liczba 1024 w zapisie dziesiętnym to cyfra 1 i 24 zera, czyli ma 25 cyfr.
A.2
B.2
C.2−202
D.62−102
A. 2
Zauważmy, że wyrażenie jest kwadratem sumy:
x2+10x+25=(x+5)2
Podstawiamy x=2−5:
(2−5+5)2=(2)2=2
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Rozwiązujemy równanie f(x)=3 w pierwszym kawałku (x∈[−4,2]):
x+2=3⟹x=1
W drugim kawałku (x∈(2,5)) równanie −x+5=3 dawałoby x=2, ale ten koniec przedziału jest wykluczony, więc jedynym rozwiązaniem jest x=1.
W przedziale [2,3] funkcja jest opisana wzorem f(x)=x+2 w punkcie x=2 i wzorem f(x)=−x+5 dla x∈(2,3]. Odczytujemy z wykresu, że największą wartość funkcja przyjmuje w x=2:
1. [−2,4]; 2. (−1,4)
1. Z wykresu odczytujemy, że najmniejsza wartość funkcji to f(−4)=−2, a największa to f(2)=4 — zbiorem wartości jest przedział [−2,4].
2. Rozwiązujemy nierówność f(x)>1 w pierwszym kawałku:
x+2>1⟹x>−1
Dla x∈[−4,2] daje to x∈(−1,2]. W drugim kawałku:
−x+5>1⟹x<4
Dla x∈(2,5) daje to x∈(2,4). Łącząc oba przedziały (punkt x=2 należy do pierwszego z nich), otrzymujemy:
(−1,2]∪(2,4)=(−1,4)
FF
funkcja jest malejąca, więc współczynnik kierunkowy a jest ujemny — pierwsze zdanie jest fałszywe.
Wykres przecina oś Oy poniżej zera (w punkcie (0,−3)), więc wyraz wolny b jest ujemny — drugie zdanie jest fałszywe.
A.(−23)
B.(−32)
C.32
D.23
A. (−23)
Wykres przechodzi przez punkty (−2,0) oraz (0,−3), więc współczynnik kierunkowy (równy tangensowi kąta nachylenia do osi Ox) jest równy:
a=0−(−2)−3−0=−23
f(x)=21x2−3x+25
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Sinus kąta γ=∠BCA to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta (AB) do przeciwprostokątnej (AC):
sinγ=∣AC∣∣AB∣=2106=103
A.50°
B.60°
C.70°
D.100°
C. 70°
Kąt wpisany CDA jest oparty na łuku AC nieprzechodzącym przez D, więc odpowiadający mu kąt środkowy AOC (oparty na tym samym łuku) jest dwa razy większy:
∠AOC=2⋅50°=100°
Kąt AOC składa się z kątów AOB i BOC:
∠AOB+∠BOC=100°
Podstawiamy ∠BOC=30°:
∠AOB=100°−30°=70°
A.4
B.9
C.10
D.16
B. 9
Ponieważ k∥l, kąty naprzemianległe przy przecięciu prostymi m i n są równe, więc trójkąty OAD i OCB są podobne (cecha kąt-kąt).
Z podobieństwa trójkątów odpowiednie boki są proporcjonalne:
∣OC∣∣OA∣=∣OB∣∣OD∣
Podstawiamy dane:
812=6∣OD∣⟹∣OD∣=812⋅6=9
PNLMPKNM=ba
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a wyraża się wzorem R=3a.
Podstawiamy R=93 i wyznaczamy a:
93=3a⟹a=93⋅3=9⋅3=27
A.85
B.38
C.532
D.320
D. 320
Mnożymy obie strony przez 4cosα (kąt ostry, więc cosα=0) i porządkujemy:
3sinα+4cosα=24cosα3sinα=20cosα
Dzielimy obie strony przez 3cosα:
3cosα3sinα=3cosα20cosαcosαsinα=320tanα=320
A.3
B.5
C.6
D.10
B. 5
Punkty A i C leżą na osi Oy, więc odcinek AC jest pionowy i ma długość:
∣AC∣=∣2−(−3)∣=5
Wysokość opuszczona z punktu B na prostą AC (czyli na oś Oy) jest równa odciętej punktu B:
h=2
Pole trójkąta:
P=21⋅∣AC∣⋅h=21⋅5⋅2=5
A.(32,0)
B.(−21,0)
C.(0,−32)
D.(0,−21)
D. (0,−21)
Sprawdzamy, w którym wierzchołku jest kąt prosty, licząc iloczyn skalarny wektorów BA i BC:
BA=(−2,−4),BC=(−2,1),BA⋅BC=4−4=0
Kąt prosty jest w wierzchołku B, więc przeciwprostokątną jest odcinek AC. Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej:
(20+0,2−3+2)=(0,−21)
PF
Sprawdzamy odległość punktu A od środka S:
∣SA∣2=(4−1)2+(−7−(−3))2=9+16=25=52
Ponieważ ∣SA∣=5=r, punkt A leży na okręgu — pierwsze zdanie jest prawdziwe.
Poprawne równanie okręgu to (x−1)2+(y+3)2=25 (promień podniesiony do kwadratu), a nie =5 — drugie zdanie jest fałszywe.
A.(0,−3)
B.(0,−21)
C.(0,−1)
D.(0,−34)
D. (0,−34)
Prosta l jest równoległa do k, więc ma taki sam współczynnik kierunkowy a=−31. Zapisujemy jej wzór jako y=−31x+b.
Podstawiamy współrzędne punktu (2,−2):
−2−2b=−31⋅2+b=−32+b=−34
Prosta przecina oś Oy w punkcie:
(0,−34)
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Odczytujemy z diagramów liczby uczniów z poszczególnymi ocenami: klasa IV A: 1,6,3,3,6,1 (oceny 1–6); klasa IV B: 1,3,6,6,3,1. W obu klasach jest po 20 uczniów.
Obliczamy średnią klasy IV A:
201⋅1+2⋅6+3⋅3+4⋅3+5⋅6+6⋅1=2070=3,5
Obliczamy średnią klasy IV B:
201⋅1+2⋅3+3⋅6+4⋅6+5⋅3+6⋅1=2070=3,5
Średnie są równe — pierwsze zdanie jest prawdziwe.
W obu klasach 10. i 11. wyraz uporządkowanego niemalejąco ciągu ocen (licząc skumulowane liczebności) to odpowiednio 3 i 4, więc mediana w obu klasach wynosi 23+4=3,5 — drugie zdanie jest prawdziwe.
A.3,5
B.3,75
C.4
D.4,25
C. 4
Suma liczb a,b,c:
a+b+c=3⋅2=6
Suma liczb d,e,f,g:
d+e+f+g=4⋅5,5=22
Średnia siedmiu liczb:
76+22=728=4
A.t=1,5 s
B.t=2 s
C.t=2,5 s
D.t=3 s
D. t=3 s
Piłeczka uderza o ziemię, gdy h(t)=0:
−4,9t2+14,7t=0⟹t(−4,9t+14,7)=0
Rozwiązaniami są t=0 (moment wyrzutu) oraz:
t=4,914,7=3
Pierwsze uderzenie o ziemię (dla t>0) następuje więc w chwili t=3 s.
A.t=1,5 s
B.t=2 s
C.t=2,5 s
D.t=3 s
A. t=1,5 s
Wysokość opisuje funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół (a=−4,9<0), więc największą wartość osiąga w wierzchołku paraboli: