Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015)

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = x^{2} + 4

. W układzie współrzędnych

(x, y)

styczna do wykresu tej funkcji w punkcie

(2, 8)

przecina oś

O x

w punkcie

Poprawna odpowiedź

(0, 0)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Iloraz tego ciągu jest równy

\frac{2}{3}

, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{9}{4}

.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{3}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Najmniejszą liczbą naturalną

n

spełniającą nierówność

\frac{2 n - 5}{3 n + 2} - \frac{2}{3} < \frac{1}{20}

jest

Poprawna odpowiedź

42

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczby

x

oraz

y

są takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że

x \cdot y \neq = 1

y \neq = 1

oraz

lo g_{x \cdot y} x = 2026

.
Liczba

lo g_{y} (x \cdot y)

jest równa

Poprawna odpowiedź

(- \frac{1}{2025})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem rekurencyjnym

⎩ ⎨ ⎧ a_{1} = 2 a_{n + 1} = \frac{4}{a _{n}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

8, 2, 8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Ze zbioru ośmiu liczb

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez

3

. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{1}{28}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq \frac{x}{y ^{2}} + \frac{y}{x ^{2}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

0 \leq (x + y) (x - y)^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

3 pkt

Punkty

K

L

są środkami – odpowiednio – boków

A B

B C

kwadratu

A B C D

o boku długości

a

. Punkt

M

jest takim punktem na boku

B C

, że odcinki

D K

K M

są prostopadłe. Odcinek

A L

przecina odcinki

D K

oraz

D M

w punktach – odpowiednio –

P

oraz

Q

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

∣ P Q ∣ = \frac{5}{5} a

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ P Q ∣ = \frac{5}{5} a

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od

6

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

1

, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy

(- 2025)

. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

S_{1014} = - 1026168

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (6 x) - 2 sin (2 x) = 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{π k}{2} \lor x = - \frac{5 π}{12} + π k \lor x = \frac{5 π}{12} + π k \lor x = - \frac{π}{12} + π k \lor x = \frac{π}{12} + π k

, gdzie

k \in Z

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

4 pkt

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

A B C S

podstawa

A B C

jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie

A B C

jest równa

62 π

, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi

S B

S C

jest równy

\frac{5}{9}

.
Oblicz długość krawędzi podstawy

A B C

oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi

S A C

S B C

tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = 36

cos β = \frac{5}{14}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (1, - 1)

oraz

B = (4, 0)

są wierzchołkami trójkąta

A B C

, w którym

∣ C A ∣ = ∣ C B ∣

. Jedno z ramion trójkąta

A B C

zawiera się w prostej o równaniu

x + 2 y - 4 = 0

. Na boku

A C

tego trójkąta obrano taki punkt

M

, że

∣ A M ∣ : ∣ M C ∣ = 1 : 4

.
Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie

M

i przechodzi przez punkt

C

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(x - \frac{6}{5})^{2} + (y + \frac{3}{5})^{2} = \frac{16}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

5 pkt

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru

m

, gdzie

m \neq = 0

, dla których funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = m^{2} \cdot x^{2} - 2 m x - m + 1

ma dwa różne miejsca zerowe

x_{1}

oraz

x_{2}

należące do przedziału

(- 2, 2)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (1, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

6 pkt

W czworokącie

A B C D

są dane:

∣ A B ∣ = 9

∣ A D ∣ = 10

oraz

∣∠ B A D ∣ = 60°

. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Oblicz długości boków

B C

C D

oraz pole czworokąta

A B C D

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ B C ∣ = 5

∣ C D ∣ = 6

P_{A B C D} = 303

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.1

3 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości

x

metrów nieprzekraczającej

10

metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy

4

metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Wykaż, że pole

P

(wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15.2

4 pkt

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości

x

metrów nieprzekraczającej

10

metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy

4

P

trójkątnego kwietnika o podstawie długości

x

metrów jest określone wzorem

P (x) = \frac{2 x ^{3}}{x ^{2} - 16}

dla każdego

x \in (4, 10 ⟩

.

Wyznacz długość

x

podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 43

P_{min} = 123

Rozwiązanie krok po kroku