Matura rozszerzona maj 2021

.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{5}{4} = 1, 25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Niech

lo g_{2} 18 = c

. Wykaż, że

lo g_{3} 4 = \frac{4}{c - 1}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Równość

lo g_{3} 4 = \frac{4}{c - 1}

jest wykazana (dowód powyżej).

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Rozwiąż nierówność:

\frac{2 x - 1}{1 - x} \leq \frac{2 + 2 x}{5 x}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{1}{4}] \cup (0, \frac{2}{3}] \cup (1, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

3 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny

A B C

. Na bokach

A B

A C

wybrano punkty – odpowiednio –

D

E

takie, że

∣ B D ∣ = ∣ A E ∣ = \frac{1}{3} ∣ A B ∣

. Odcinki

C D

B E

przecinają się w punkcie

P

(zobacz rysunek).Wykaż, że pole trójkąta

D B P

jest

21

razy mniejsze od pola trójkąta

A B C

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Pole trójkąta

D B P

jest równe

\frac{1}{21}

pola trójkąta

A B C

(dowód powyżej).

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez

15

, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez

18

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A ∣ B) = \frac{1}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Prosta przechodząca przez punkty

A = (8, - 6)

B = (5, 15)

jest styczna do okręgu o środku w punkcie

O = (0, 0)

. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą

A B

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

r = 52, P = (7, 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których trójmian kwadratowy

4 x^{2} - 2 (m + 1) x + m

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0, x_{2} \neq = 0 oraz x_{1} + x_{2} \leq \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (- \infty, - 1 ⟩ \cup (0, 1) \cup (1, 4 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

Rozwiąż równanie

cos 2 x = \frac{2}{2} (cos x - sin x)

w przedziale

⟨ 0, π ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{π}{4}

lub

x = \frac{7 π}{12}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

4 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta

A B C

, który ma większą miarę.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{4}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.1

3 pkt

Dane są parabola o równaniu

y = x^{2}

oraz punkty

A = (0, 2)

B = (1, 3)

(zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołek

C

leży na tej paraboli. Niech

m

oznacza pierwszą współrzędną punktu

C

.

Wyznacz pole

P

trójkąta

A B C

jako funkcję zmiennej

m

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (m) = \frac{1}{2} ∣ m - m^{2} + 2∣

dla

m \neq = - 1

m \neq = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14.2

3 pkt

Dane są parabola o równaniu

y = x^{2}

oraz punkty

A = (0, 2)

B = (1, 3)

(zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty

A B C

, których wierzchołek

C

leży na tej paraboli. Niech

m

oznacza pierwszą współrzędną punktu

C

.

Wyznacz wszystkie wartości

m

, dla których trójkąt

A B C

jest ostrokątny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (\frac{- 1 - 17}{2}, - 2) \cup (1, \frac{- 1 + 17}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

7 pkt

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności

144 m^{3}

. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać

9

metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

$100$ zł za $1 m^{2}$ dna
$75$ zł za $1 m^{2}$ ściany bocznej

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 6, h = 4

(wymiary zbiornika:

6 m \times 6 m \times 4 m

)

Rozwiązanie krok po kroku