Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Największa wartość funkcji f jest równa ___. 2. Równanie f(x)=5 ma ___ rozwiązania.
Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ___. 2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)<1 jest przedział ___.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=−16x2+40x+11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie C. Ta parabola przecina oś Ox w punktach A oraz B.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się
Poprawna odpowiedź
A. dwusiecznych kątów tego trójkąta.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt (incentrum) jest punktem równo oddalonym od wszystkich boków trójkąta, a takim punktem jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.
Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy BD. Kąt COB jest prosty, a kąt AKD ma miarę 78° (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(−3,0) oraz C=(5,6) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Kwadrat A′B′C′D′ jest obrazem kwadratu ABCD w symetrii osiowej względem osi Oy.
Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie A′B′C′D′. Zapisz obliczenia.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12. Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30∘.
Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Rysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 1 do 6 (zobacz rysunek). Każdy z tych obszarów należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów w taki sposób, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie A polega na tym, że wylosujemy liczbę, która jest wielokrotnością liczby 34.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Licznik pierwszego ułamka to wzór skróconego mnożenia:
x2+20x+100=(x+10)2
Podstawiamy i mnożymy ułamki:
x3(x+10)2⋅x+10x2=x3⋅(x+10)(x+10)2⋅x2
Skracamy czynnik (x+10) oraz x2:
x3⋅(x+10)(x+10)2⋅x2=xx+10
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. trzy rozwiązania.
D. pięć rozwiązań.
C. trzy rozwiązania.
Iloczyn jest równy zero, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero. Z czynnika 2x=0 otrzymujemy:
x=0
Z czynnika x2−3=0 otrzymujemy:
x2=3⟹x=−3lubx=3
Sprawdzamy wyróżnik trójmianu x2+2x+3:
Δ=22−4⋅1⋅3=−8<0
Ujemny wyróżnik oznacza brak rozwiązań rzeczywistych tego czynnika. Łącznie równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste: x=0, x=−3, x=3.
Wymnażamy nawiasy po lewej stronie i przenosimy wszystko na jedną stronę:
x2+2x−15>9⟹x2+2x−24>0
Obliczamy wyróżnik trójmianu x2+2x−24:
Δ=22−4⋅1⋅(−24)=100
Obliczamy miejsca zerowe:
x1=2−2−100=−6,x2=2−2+100=4
Ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, parabola przyjmuje wartości dodatnie na zewnątrz przedziału między pierwiastkami. Zbiorem rozwiązań nierówności jest:
x∈(−∞,−6)∪(4,+∞)
PP
Dzielimy pierwsze równanie przez 20, a drugie przez 26, otrzymując prostszy układ:
⎩⎨⎧x+y=201x−y=261
Dodajemy równania stronami, aby wyznaczyć x0:
2x=201+261=26013+10=26023⟹x0=52023
Odejmujemy równania stronami, aby wyznaczyć y0:
2y=201−261=26013−10=2603⟹y0=5203
Obie liczby x0 oraz y0 są dodatnie, więc ich suma i iloczyn również są liczbami dodatnimi: obydwa stwierdzenia są prawdziwe (P, P).
FP
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny:
k+2<0⟺k<−2
Przedział (−∞,2) zawiera liczby k≥−2 (np. k=0), dla których funkcja nie jest malejąca, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Sprawdzamy drugie stwierdzenie: dla k=4 obliczamy wyraz wolny funkcji:
f(0)=k−3=4−3=1
Wykres istotnie przechodzi przez punkt (0,1), więc drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).
FP
Na przedziale [−4,−2) funkcja rośnie (wzór x+5), ale w punkcie x=−2 przyjmuje wartość z kolejnego wzoru f(−2)=−2+3=1, czyli mniejszą niż wartości bliskie 3 osiągane tuż przed −2. Funkcja nie jest więc rosnąca na całym domkniętym przedziale [−4,−2]: pierwsze stwierdzenie jest fałszywe (F).
Na przedziale (1,3] funkcja maleje (wzór −2x+5), a wartość w punkcie x=1 wynosi f(1)=1+3=4 i jest większa od wszystkich wartości przyjmowanych dla x>1, więc funkcja jest malejąca na całym przedziale [1,3]: drugie stwierdzenie jest prawdziwe (P).
1. Największa wartość =4; 2. 3 rozwiązania
Z wykresu odczytujemy, że funkcja osiąga swoją największą wartość w punkcie x=1 (koniec drugiego kawałka, wartość domknięta):
f(1)=1+3=4
Sprawdzamy, dla ilu argumentów zachodzi f(x)=5, osobno na każdym z trzech kawałków. Pierwszy kawałek (x∈[−4,−2)):
x+5=5⟹x=5−5≈−2,76∈[−4,−2)
Drugi kawałek (x∈[−2,1]):
x+3=5⟹x=5−3≈−0,76∈[−2,1]
Trzeci kawałek (x∈(1,3]):
−2x+5=5⟹x=25−5≈1,38∈(1,3]
Każdy z trzech kawałków daje jedno rozwiązanie należące do swojej dziedziny, więc równanie f(x)=5 ma 3 rozwiązania.
1. [−4,3]; 2. (2,3]
Dziedziną funkcji f jest suma przedziałów, na których jest ona określona:
[−4,−2)∪[−2,1]∪(1,3]=[−4,3]
Rozwiązujemy nierówność f(x)<1 osobno na każdym kawałku. Pierwszy kawałek (x∈[−4,−2)):
x+5<1⟹x<−4
Nie ma rozwiązań w tym przedziale, bo x≥−4. Drugi kawałek (x∈[−2,1]):
x+3<1⟹x<−2
Nie ma rozwiązań w tym przedziale, bo x≥−2. Trzeci kawałek (x∈(1,3]):
−2x+5<1⟹x>2
Po przecięciu z dziedziną tego kawałka otrzymujemy x∈(2,3]. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności jest zatem przedział (2,3].
PABC=54
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Ciąg jest arytmetyczny o pierwszym wyrazie a1=5 i różnicy r=2.
Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
S100=2100(2a1+99r)=50(10+198)=50⋅208=10400
A.51
B.(−51)
C.5
D.(−5)
A. 51
Zapisujemy wyrazy a6 i a8 za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu q:
a6=a1q5,a8=a1q7
Podstawiamy do warunku zadania:
a1q5=25⋅a1q7⟹1=25q2⟹q2=251⟹q=±51
Ciąg jest malejący. Iloraz ujemny dawałby ciąg naprzemienny (niemonotoniczny), więc odrzucamy q=−51. Pozostaje q=51, dla którego (przy dodatnim a1) ciąg rzeczywiście maleje.
−6
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej, aby obliczyć cosα:
sin2α+cos2α=1⟹(31)2+cos2α=1⟹cos2α=32
Kąt α jest rozwarty, więc cosα<0:
cosα=−32=−32⋅33=−36
Przekształcamy wyrażenie, korzystając ze związku tgα=cosαsinα:
tgα3sinα=3sinα⋅sinαcosα=3cosα
Podstawiamy obliczoną wartość cosα:
3cosα=3⋅(−36)=−6
A.3
B.4
C.9
D.117
C. 9
Bok BC jest przeciwprostokątną, więc kąt przy wierzchołku A jest prosty, a AC i AB to przyprostokątne. Tangens kąta BCA to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw (AB) do przyprostokątnej przyległej (AC):
tg(∠BCA)=∣AC∣∣AB∣
Podstawiamy dane i obliczamy długość odcinka AB:
23=6∣AB∣⟹∣AB∣=6⋅23=9
A.45°
B.51°
C.57°
D.78°
C. 57°
Ponieważ BD jest średnicą okręgu, kąt wpisany BAD oparty na tej średnicy jest kątem prostym (twierdzenie Talesa):
∠BAD=90°
Kąt środkowy COB ma miarę 90° i jest oparty na tym samym łuku BC co kąt wpisany BAC, więc kąt wpisany jest o połowę mniejszy:
∠BAC=21⋅90°=45°
Kąt DAC (punkt C leży wewnątrz kąta BAD) to różnica kątów BAD i BAC:
∠DAC=∠BAD−∠BAC=90°−45°=45°
W trójkącie AKD suma miar kątów wynosi 180°. Kąt DAK to ten sam kąt co DAC (punkt K leży na odcinku AC), a kąt AKD ma miarę 78°:
∠ADK=180°−∠AKD−∠DAK=180°−78°−45°=57°
Kąt ADK to ten sam kąt co szukany kąt ostry BDA (punkt K leży na odcinku BD), więc:
∠BDA=57°
cos(2α)=21, gdzie 2α=∠DAB, więc ∠DAB=60°
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Sześciokąt foremny wpisany w koło o promieniu r=1 ma bok równy promieniowi (a=1), bo trójkąty utworzone przez środek koła i sąsiednie wierzchołki sześciokąta są równoboczne.
Obliczamy pole sześciokąta foremnego o boku a=1:
P6=233a2=233
Obliczamy pole koła o promieniu r=1:
Pkoła=πr2=π
Pole zacieniowanej figury to różnica pola koła i pola sześciokąta:
P=π−233
A.6
B.7
C.18
D.19
D. 19
Zapisujemy równanie prostej l w postaci kierunkowej y=ax+b, aby odczytać współczynnik kierunkowy:
6x+y+7=0⟹y=−6x−7
Podobnie zapisujemy równanie prostej k:
(m−1)x+3y+5=0⟹y=−3m−1x−35
Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe:
−3m−1=−6⟹m−1=18⟹m=19
(x+1)2+(y−3)2=25
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Sumujemy wagi wszystkich ocen (po 3 oceny z wagą 2, po 2 oceny z wagą 3 i po 2 oceny z wagą 4):
3⋅2+2⋅3+2⋅4=6+6+8=20
Średnia ważona:
2079=3,95
A.1
B.1,5
C.2
D.2,5
B. 1,5
Obliczamy liczbę meczów odpowiadającą każdemu wycinkowi diagramu (50 meczów; wycinki to kolejno 8%,42%,32%,12%,6% dla 0,1,2,3,4 goli):
0 goli:4,1 gol:21,2 gole:16,3 gole:6,4 gole:3
Mediana 50 wyników to średnia arytmetyczna 25. i 26. wyrazu uporządkowanego ciągu. Skumulowane liczebności: po wyniku 0 goli — 4 mecze, po wyniku 1 gol łącznie 4+21=25 meczów, po wyniku 2 gole łącznie 25+16=41 meczów.
Zatem 25. wyraz to 1 (ostatni z grupy „1 gol”), a 26. wyraz to 2 (pierwszy z grupy „2 gole”). Mediana:
21+2=1,5
A.0
B.3
C.π
D.6
C. π
Współczynnik przy (x−π)2 jest ujemny (−5), więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek w punkcie x=π jest miejscem, w którym funkcja przyjmuje wartość największą (globalnie, więc również w każdym przedziale zawierającym π).
Ponieważ π≈3,14∈[0,6], wartość największa w tym przedziale jest osiągana dla:
x=π
A.0
B.3
C.π
D.6
A. 0
Ponieważ parabola ma ramiona skierowane w dół z wierzchołkiem w x=π, na przedziale domkniętym wartość najmniejsza jest osiągana w tym końcu przedziału, który jest dalej od π.
Porównujemy odległości końców przedziału od π: π−0=π≈3,14 oraz 6−π≈2,86.
Ponieważ π>6−π, punkt x=0 jest dalej od wierzchołka niż x=6, więc to w x=0 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale [0,6]: