Matura rozszerzona maj 2017

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Liczba

(2 - 3 - 2 + 3)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

a_{n} = \frac{( n ^{2} - 10 n ) ( 2 - 3 n )}{2 n ^{3} + n ^{2} + 3}

dla

n \geq 1

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

n \to \infty lim a_{n} = - \frac{3}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Odcinek

C D

jest wysokością trójkąta

A B C

, w którym

∣ A D ∣ = ∣ C D ∣ = \frac{1}{2} ∣ B C ∣

(zobacz rysunek). Okrąg o środku

C

i promieniu

C D

jest styczny do prostej

A B

. Okrąg ten przecina boki

A C

B C

trójkąta odpowiednio w punktach

K

L

.
Zaznaczony na rysunku kąt

α

wpisany w okrąg jest równy

Poprawna odpowiedź

52, 5°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Dane są punkt

B = (- 4, 7)

i wektor

u = [- 3, 5]

. Punkt

A

, taki, że

A B = - 3 u

, ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

A = (- 13, 22)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Reszta z dzielenia wielomianu

W (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + \frac{3}{4}

przez dwumian

x - 2

jest równa

1

. Oblicz wartość współczynnika

a

.
W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

a = \frac{1}{8} = 0, 125

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} + 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie

P = (1, 0)

Poprawna odpowiedź

y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

x

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 > 0

Poprawna odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa: dla

x \neq = y

jej lewą stronę można zapisać jako sumę liczby nieujemnej i liczby dodatniej (wzory skróconego mnożenia).

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

W trójkącie ostrokątnym

A B C

bok

A B

ma długość

c

, długość boku

B C

jest równa

a

oraz

∣ ∢ A B C ∣ = β

. Dwusieczna kąta

A B C

przecina bok

A C

trójkąta w punkcie

E

.
Wykaż, że długość odcinka

B E

jest równa

\frac{2 a c \cdot cos \frac{β}{2}}{a + c}

Poprawna odpowiedź

∣ B E ∣ = \frac{2 a c \cdot cos \frac{β}{2}}{a + c}

, co wynika z porównania pola trójkąta

A B C

z sumą pól trójkątów

A B E

E B C

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość

6

, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna

π

, równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej

\frac{8}{27}

objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka

S

kuli od płaszczyzny

π

, tj. długość najkrótszego spośród odcinków

S P

, gdzie

P

jest punktem płaszczyzny

π

Poprawna odpowiedź

\frac{6}{6}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Rozwiąż równanie

cos 2 x + 3 cos x = - 2

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

Poprawna odpowiedź

x = π

lub

x = \frac{2 π}{3}

lub

x = \frac{4 π}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

W pudełku znajduje się

8

piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od

1

8

. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez

4

. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

Poprawna odpowiedź

\frac{11}{16}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

4 x^{2} - 6 m x + (2 m + 3) (m - 3) = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

, przy czym

x_{1} < x_{2}

, spełniające warunek

(4 x_{1} - 4 x_{2} - 1) (4 x_{1} - 4 x_{2} + 1) < 0

Poprawna odpowiedź

m \in (- \frac{13}{2}, - 6) \cup (- 6, - \frac{11}{2})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

5 pkt

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty

A = (- 5, 3)

B = (0, 6)

, którego środek leży na prostej o równaniu

x - 3 y + 1 = 0

Poprawna odpowiedź

x^{2} + (y - \frac{1}{3})^{2} = \frac{289}{9}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

6 pkt

Liczby

a

b

c

są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa

27

. Ciąg

(a - 2, b, 2 c + 1)

jest geometryczny.
Wyznacz liczby

a

b

c

Poprawna odpowiedź

a = 5, b = 9, c = 13

lub

a = \frac{31}{2}, b = 9, c = \frac{5}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej

P

. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Poprawna odpowiedź

r = \frac{P}{6 π}

h = \frac{2 P}{3 π}

V_{m a x} = \frac{P}{3} \cdot \frac{P}{6 π}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie