Matura rozszerzona czerwiec 2023 (F. 2015)

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Dany jest trójkąt o bokach długości

4, 5

oraz

6

. Cosinus największego kąta wewnętrznego tego trójkąta jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{8}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Reszta z dzielenia wielomianu

W (x) = 5 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 7

przez dwumian

x + 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

(- 63)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Funkcja

f

jest określona dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Fragment wykresu funkcji

f

przedstawiono na rysunku 1.

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = f (\frac{1}{2} x)

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Na jednym z rysunków A–D przedstawiono fragment wykresu funkcji

g

.

Fragment wykresu funkcji

g

przedstawia

Poprawna odpowiedź

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Oblicz granicę

n \to \infty lim \frac{4 n ^{3} - 2 n + 1}{3 n ^{3} - n ^{2} - 2 n + 3}

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

1, 3, 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9 x

dla każdego

x \in R

.
Punkt

P = (x_{0}, 18)

należy do wykresu funkcji

f

.
Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

Poprawna odpowiedź

x_{0} = 2

y = 17 x - 16

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej

a

prawdziwa jest nierówność

a^{2} + \frac{16}{a} \geq 12

Poprawna odpowiedź

a (a - 2)^{2} (a + 4) \geq 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Dany jest okrąg

O

. Przez punkt

A

poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –

P

oraz

Q

. Przez punkt

B

leżący na odcinku

A P

poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie

D

, która przecięła odcinek

A Q

w punkcie

C

(zobacz rysunek).

Wykaż, że jeżeli

∣ A Q ∣ = 5 \cdot ∣ B P ∣

oraz

∣ C D ∣ = 2 \cdot ∣ B D ∣

, to trójkąt

A B C

jest równoramienny.

Poprawna odpowiedź

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 3 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2 x - \frac{6 x}{x - 1} + \frac{18 x}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{54 x}{( x - 1 ) ^{3}} + \dots

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej

x

(różnej od

0

i od

1

), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa

\frac{15}{2}

Poprawna odpowiedź

x = 6

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin (5 x) + cos x = 0

w zbiorze

⟨ - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} ⟩

Poprawna odpowiedź

x \in {- \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{8}, - \frac{π}{12}, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{8}}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

W pudełku umieszczono

n

kul (

n \geq 3

) wśród których dokładnie

2

kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe

\frac{37}{50}

.
Oblicz

n

Poprawna odpowiedź

n = 10

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

m x^{2} - (m + 1) x - 2 m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0, x_{2} \neq = 0 oraz \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} < 1

Poprawna odpowiedź

m \in (- 4 - 26, 0) \cup (0, \frac{1}{9})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

5 pkt

Czworokąt wypukły

A B C D

jest wpisany w okrąg o promieniu

4

. Kąty

B A D

B C D

są proste (zobacz rysunek). Przekątne

A C

B D

tego czworokąta przecinają się w punkcie

E

tak, że

∣ B E ∣ = 3 \cdot ∣ D E ∣

oraz

∣ B D ∣ = 2 \cdot ∣ A E ∣

.

Oblicz długości boków czworokąta

A B C D

Poprawna odpowiedź

∣ A B ∣ = 210, ∣ B C ∣ = 36, ∣ C D ∣ = 10, ∣ A D ∣ = 26

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.1

3 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne

A B C D E F G H

, w których odcinek łączący punkt

O

przecięcia przekątnych

A C

B D

podstawy

A B C D

z dowolnym wierzchołkiem podstawy

E F G H

ma długość

d

(zobacz rysunek).

a) Wyznacz zależność objętości

V

graniastosłupa od jego wysokości

h

i podaj dziedzinę funkcji

V (h)

Poprawna odpowiedź

V (h) = 2 (d^{2} - h^{2}) \cdot h, h \in (0, d)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.2

3 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne

A B C D E F G H

, w których odcinek łączący punkt

O

przecięcia przekątnych

A C

B D

podstawy

A B C D

z dowolnym wierzchołkiem podstawy

E F G H

ma długość

d

(zobacz rysunek).

b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, który ma największą objętość.

Poprawna odpowiedź

h = \frac{d}{3} = \frac{d 3}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

7 pkt

Okrąg

o_{1}

o środku w punkcie

S_{1}

jest określony równaniem

(x - 6)^{2} + (y + 1)^{2} = 16

. Okrąg

o_{2}

ma środek w punkcie

S_{2}

takim, że

S_{1} S_{2} = [- 4, 4]

. Promienie tych okręgów są sobie równe.
Figura

F

składa się z dwóch okręgów:

o_{1}

oraz

o_{2}

. Punkty

M

N

są punktami przecięcia figury

F

z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.
Wyznacz punkt

K

, leżący na jednej z osi symetrii figury

F

, taki, że pole trójkąta

M N K

jest równe

40

Poprawna odpowiedź

K = (- 6, 11)

lub

K = (14, - 9)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie