Matura rozszerzona czerwiec 2017

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Równanie

∣ ∣ x - 4∣ - 2 ∣ = 2

ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

D. trzy rozwiązania rzeczywiste.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

lo g_{4} 25 + lo g_{2} 10

jest równa

Poprawna odpowiedź

lo g_{2} 50

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Punkt

P^{'} = (3, - 3)

jest obrazem punktu

P = (1, 3)

w jednokładności o środku w punkcie

S = (- 2, 12)

. Skala tej jednokładności jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{5}{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{x}{2 x - 8}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 4

. Wówczas pochodna tej funkcji dla argumentu

x = 2 + 4

jest równa

Poprawna odpowiedź

- 1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{1}{4}

. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{1}{7}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = - x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 1

x_{2} = 12

. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

2, 2, 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + y^{2} - 4 x y + 6 x + 9 \geq 0

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Miary kątów trójkąta

A B C

są równe

α = ∣ ∢ B A C ∣

β = ∣ ∢ A B C ∣

γ = ∣ ∢ A C B ∣

. Punkt

S

jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki

A S

B S

przecinają boki

B C

A C

tego trójkąta w punktach odpowiednio

D

E

(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli

α + β = 2 γ

, to na czworokącie

D C E S

można opisać okrąg.

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Z cyfr

0

1

2

tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez

15

. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.

Poprawna odpowiedź

18

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

5 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest arytmetyczny, a ciąg

(b_{n})

jest geometryczny. Pierwszy wyraz

a_{1}

ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego

(b_{n})

. Wyrazy ciągu

(a_{n})

są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

124

. Natomiast pierwszy wyraz

b_{1}

ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego

(a_{n})

. Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego

(b_{n})

jest równa

18

. Wyznacz te ciągi.

Poprawna odpowiedź

a_{n} = 3 n + 2

oraz

b_{n} = 3 \cdot 5^{n - 1}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Rozwiąż równanie

3 sin (x - \frac{π}{4}) + cos (x + \frac{π}{4}) = 1

w przedziale

⟨ 0, 2 π ⟩

Poprawna odpowiedź

x = \frac{5 π}{12}

lub

x = \frac{13 π}{12}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

5 pkt

Prosta

l

, na której leży punkt

P = (8, 2)

, tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym

36

. Wyznacz równanie prostej

l

Poprawna odpowiedź

y = - \frac{1}{8} x + 3

oraz

y = - \frac{1}{2} x + 6

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

6 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} + 1 = 0

ma dwa różne rozwiązania takie, że każde należy do przedziału

(- \infty, 3)

Poprawna odpowiedź

m \in (- \infty, - 2)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

6 pkt

Trapez równoramienny

A B C D

o ramieniu długości

6

wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa

A B

trapezu, o długości

12

, jest średnicą tego okręgu. Przekątne

A C

B D

trapezu przecinają się w punkcie

P

. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt

A B P

Poprawna odpowiedź

(252 - 1443) π

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości

8

, których stosunek długości dwóch krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka jest równy

1 : 2

oraz suma długości wszystkich dwunastu krawędzi jest mniejsza od

28

. Wyznacz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję długości jednej z jego krawędzi. Wyznacz dziedzinę tej funkcji. Oblicz wymiary tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze.

Poprawna odpowiedź

P_{c} (x) = 4 x^{2} + \frac{24}{x}

dla

x \in (1, 2)

; wymiary:

33

233

\frac{4 3 3}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie