Matura rozszerzona maj 2022

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne.
Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

\frac{5}{14}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

wzorem

a_{n} = \frac{( 7 p - 1 ) n ^{3} + 5 p n - 3}{( p + 1 ) n ^{3} + n ^{2} + p}

, gdzie

p

jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Oblicz wartość

p

, dla której granica ciągu

(a_{n})

jest równa

\frac{4}{3}

.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

p = \frac{7}{17}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

2 x > y

, spełniona jest nierówność

7 x^{3} + 4 x^{2} y \geq y^{3} + 2 x y^{2} - x^{3}

Nierówność

7 x^{3} + 4 x^{2} y \geq y^{3} + 2 x y^{2} - x^{3}

jest prawdziwa dla każdych

x, y

spełniających

2 x > y

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Rozwiąż równanie:

∣ x - 3∣ = 2 x + 11

x = - \frac{8}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

Punkt

P

jest punktem przecięcia przekątnych trapezu

A B C D

. Długość podstawy

C D

jest o

2

mniejsza od długości podstawy

A B

. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym

C P D

jest o

3

mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie

A P B

.

Wykaż, że spełniony jest warunek

∣ D P ∣^{2} + ∣ C P ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2} = \frac{4 2}{3} \cdot ∣ D P ∣ \cdot ∣ C P ∣

Warunek

∣ D P ∣^{2} + ∣ C P ∣^{2} - ∣ C D ∣^{2} = \frac{4 2}{3} \cdot ∣ D P ∣ \cdot ∣ C P ∣

jest spełniony (dowód powyżej).

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Reszta z dzielenia wielomianu

W (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} - (5 m + 1) x - 2 m

przez dwumian

x + 2

jest równa

(- 30)

.
Oblicz

m

i dla wyznaczonej wartości

m

rozwiąż nierówność

W (x) \geq 0

m = 3

x \in [- 1, - \frac{1}{2}] \cup [3, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto

a_{1} = 675

a_{22} = \frac{5}{4} a_{23} + \frac{1}{5} a_{21}

.
Ciąg

(b_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu

(b_{n})

. Ponadto

a_{3} = b_{4}

. Oblicz

b_{1}

b_{1} = 129

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0

w przedziale

[0, π]

x \in {0, \frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}, π}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m + 1) x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunki:

x_{1} \neq = 0, x_{2} \neq = 0 oraz \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + 2 = \frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}}

m = - 1

lub

m = \frac{1}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

5 pkt

Dany jest graniastosłup prosty

A B C D E F G H

o podstawie prostokątnej

A B C D

. Przekątne

A H

A F

ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze

α

takiej, że

sin α = \frac{12}{13}

(zobacz rysunek). Pole trójkąta

A F H

jest równe

26, 4

.

Oblicz wysokość

h

tego graniastosłupa.

h = 22

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

6 pkt

Punkt

A = (- 3, 2)

jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Pole tego trójkąta jest równe

15

. Bok

B C

zawarty jest w prostej o równaniu

y = x - 1

. Oblicz współrzędne wierzchołków

B

C

tego trójkąta.

B = (- 1, - 2), C = (4, 3)

lub

B = (9, 8), C = (4, 3)

lub

B = (1, 0), C = (- 4, - 5)

lub

B = (- 9, - 10), C = (- 4, - 5)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.1

2 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Wykaż, że pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.2

1 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

. Wyznacz dziedzinę funkcji

P

b \in (\frac{9}{2}, 9)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15.3

4 pkt

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym

18

. Pole

P

każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości

b

ramienia, wyraża się wzorem

P (b) = \frac{( 18 - 2 b ) \cdot 18 b - 81}{2}

dla

b \in (\frac{9}{2}, 9)

. Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

a = 6

b = 6

(trójkąt równoboczny o boku

6

)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie