Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015)

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(\frac{3 + 1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3 - 1}{2}, 2 - 3, \dots)

.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{5 + 3 3}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 7

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Funkcja

f

ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

C. jedno ekstremum lokalne – dla

x = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Wartość wyrażenia

2 5^{a} + 4 9^{b}

dla

a = \frac{1}{lo g _{6} 5}

oraz

b = \frac{1}{lo g _{8} 7}

jest równa

Poprawna odpowiedź

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = sin^{4} x + cos^{4} x

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Największa wartość funkcji

f

jest równa

Poprawna odpowiedź

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Oblicz granicę

x \to 2 lim \frac{x ^{5} - 2 x ^{4} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{3} - 2 x ^{2} + 3 x - 6}

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

4, 2, 8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra

2

• cyfra

4

występuje w kodzie dokładnie trzy razy
• cyfra

8

występuje dokładnie dwa razy
• pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Oblicz liczbę wszystkich takich kodów.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

33600

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{a x ^{2} + x}{x - 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

.

Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których pochodna funkcji

f

w punkcie

x = a

jest równa

(- \frac{1}{2} a)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x y + x + y \leq x^{2} + y^{2} + 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

0 \leq (x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

3 pkt

Odcinek

C D

jest wysokością trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Prosta

p

jest prostopadła do boku

B C

i przecina ten bok w punkcie

L

. Ta prosta przecina wysokość

C D

w punkcie

K

oraz przecina bok

A C

w punkcie różnym od

A

.

Wykaż, że

∣∠ C A K ∣ = ∣∠ K D L ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣∠ C A K ∣ = ∣∠ K B L ∣ = ∣∠ K D L ∣

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni:

P_{1}

P_{2}

P_{3}

. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie

P_{1}

P_{2}

oraz

P_{3}

do tego supermarketu jest – odpowiednio – równy

2 : 3 : 4

.
Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:

$P_{1}$ stanowi $10%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni
$P_{2}$ stanowi $12%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni
$P_{3}$ stanowi $15%$ liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni

P_{1}

, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A_{1} ∣ B) = \frac{5}{29}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

4 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o

4

, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o

1

, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.
Oblicz

x

y

oraz

z

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(x, y, z) = (1, 3, 9)

lub

(x, y, z) = (\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

4 pkt

Pole czworokąta

A B C D

wpisanego w okrąg jest równe

18

. Boki

A B

B C

są prostopadłe, a ponadto

∣ A B ∣ = 4

oraz

∣ B C ∣ = 7

.
Oblicz obwód tego czworokąta.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

L = 20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin x + sin (2 x) - cos x = \frac{1}{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{π}{6} + 2 π k \lor x = \frac{5 π}{6} + 2 π k \lor x = \frac{2 π}{3} + 2 π k \lor x = - \frac{2 π}{3} + 2 π k

, gdzie

k \in Z

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + m x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + 4 \cdot x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} \geq 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (- \infty, - 1] \cup (4, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

5 pkt

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

ma objętość równą

363

. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną

γ

, która:

• jest prostopadła do ściany bocznej

C D S

ostrosłupa
• przechodzi przez środek

K

krawędzi

A D

oraz środek

L

krawędzi

B C

• przecina krawędź boczną

C S

w punkcie

M

oraz krawędź boczną

D S

w punkcie

N

• tworzy z płaszczyzną podstawy

A B C D

kąt o mierze

30°

.

Przekrój

K L M N

wyznaczony przez płaszczyznę

γ

jest trapezem równoramiennym.

Oblicz pole trapezu

K L M N

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P_{K L M N} = \frac{63 3}{8}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.1

2 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

.

Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16.2

4 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

.

Pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

dla

a < 0

.

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną

A B

tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

y = - 2 x + 4

Rozwiązanie krok po kroku