Matura rozszerzona lipiec 2020

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Wielomian

W (x) = x^{3} - x^{2} - x - 2

jest podzielny bez reszty przez wielomian

Poprawna odpowiedź

x - 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Granica

x \to + \infty lim (\frac{x ^{3} + 8}{x ^{2} - 4} - x)

jest równa

Poprawna odpowiedź

0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1}

dla wszystkich liczb rzeczywistych

x

.

Pochodna

f^{'}

tej funkcji jest określona wzorem

Poprawna odpowiedź

f^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} - 2 x + 3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Wyrażenie

\frac{1}{3 + 2 + 1}

jest równe

Poprawna odpowiedź

\frac{2 + 2 - 6}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równa

2

, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

3

. Oblicz iloraz ciągu

(a_{n})

.

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności, części dziesiętnych i setnych otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

q = \frac{1}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

2

. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_{n} = 3 \cdot a_{n + 1} + n^{2}

. Oblicz sumę

a_{1} + a_{2} + a_{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{10}{9}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Dany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty

A

B

C

D

.
Wykaż, że jeżeli

∣∠ A D B ∣ = ∣∠ A C B ∣

, to

∣∠ B A C ∣ = ∣∠ B D C ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Kąty

∠ B A C

∠ B D C

są równe, gdyż są kątami wpisanymi w okrąg opisany na czworokącie

A B C D

, opartymi na tym samym łuku

B C

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby nieparzystej

n

wyrażenie

n^{5} - 3 n^{4} - n + 3

jest podzielne przez

16

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dla każdej liczby nieparzystej

n

liczba

n^{5} - 3 n^{4} - n + 3

jest iloczynem czterech liczb parzystych, więc jest podzielna przez

16

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

Rozwiąż równanie

4 sin^{3} x + sin 2 x = 2 sin^{2} x \cdot (2 cos x + 1)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = k π

lub

x = \frac{π}{4} + k π

lub

x = \frac{π}{6} + 2 k π

lub

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

, gdzie

k

jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Dla pewnych liczb rzeczywistych

a > 1

b > 1

N > 1

jest spełniona równość

lo g_{a^{2} b} N = \frac{3}{20} \cdot (lo g_{a} N + lo g_{b} N)

.Wyznacz wszystkie wartości wyrażenia

lo g_{a} b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

lo g_{a} b = \frac{2}{3}

lub

lo g_{a} b = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których nierówność

(m^{2} + 4 m - 5) \cdot x^{2} + 2 x > 2 m x - 2

jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej

x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m < - 11

lub

m \geq 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

6 pkt

Punkt

A = (- 2, 6)

jest wierzchołkiem rombu

A B C D

o polu równym

82, 5

. Przekątna

B D

tego rombu zawiera się w prostej

l

o równaniu

2 x - y - 5 = 0

. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

B = (\frac{5}{4}, - \frac{5}{2})

C = (10, 0)

D = (\frac{27}{4}, \frac{17}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

3 pkt

Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy

28

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

147

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

6 pkt

Dany jest romb

A B C D

. Przez wierzchołki

B

D

poprowadzono dwie proste równoległe przecinające boki

C D

A B

– odpowiednio – w punktach

M

N

, tak, że podzieliły one ten romb na trzy figury

A N D

N B M D

B C M

o równych polach. Ponadto wiadomo, że

∣ M B ∣ = ∣ N D ∣ = ∣ B D ∣

(zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

cos α = \frac{5}{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa

d

. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę największą objętość.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = \frac{2 2}{5} d

V = \frac{8 5}{375} d^{3}

Rozwiązanie krok po kroku