Matura podstawowa maj 2023 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

lo g_{9} 27 + lo g_{9} 3

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

3 - \frac{27}{16} \cdot 32

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

- \frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Cenę aparatu fotograficznego obniżono o

15%

, a następnie o

20%

w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje

340

zł. Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa

Poprawna odpowiedź

A.

500

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

wyrażenie

(2 a - 3)^{2} - (2 a + 3)^{2}

jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

- 24 a

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań.

Wskaż ten układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.

Poprawna odpowiedź

D.

{y = - x + 2 y = 2 x - 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

- 2 (x + 3) \leq \frac{2 - x}{3}

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

⟨ - 4, \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Jednym z rozwiązań równania

3 (x^{2} - 2) (x + 3) = 0

jest liczba

Poprawna odpowiedź

D.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Równanie

\frac{( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ^{2}} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych

Poprawna odpowiedź

A. nie ma rozwiązania.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Miejscem zerowym funkcji liniowej

f (x) = (2 p - 1) x + p

jest liczba

(- 4)

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

B.

p = \frac{4}{7}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x + b

, gdzie

a

i

b

są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji

f

w układzie współrzędnych

(x, y)

.

Liczba

a

oraz liczba

b

we wzorze funkcji

f

spełniają warunki:

Poprawna odpowiedź

C.

a < 0

i

b > 0

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Informacja do zadań 11.–13.
W układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Dziedziną funkcji

f

jest zbiór

Poprawna odpowiedź

A.

⟨ - 6, 5 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Informacja do zadań 11.–13.
W układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Funkcja

f

jest malejąca w zbiorze

Poprawna odpowiedź

D.

⟨ 2, 5 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Informacja do zadań 11.–13.
W układzie współrzędnych

(x, y)

narysowano wykres funkcji

y = f (x)

(zobacz rysunek).

Największa wartość funkcji

f

w przedziale

⟨ - 4, 1 ⟩

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej

f

jest liczba

(- 5)

. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji

f

, jest równa

3

.
Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Poprawna odpowiedź

A.

11

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = 2^{n} \cdot (n + 1)

dla każdej liczby naturalnej

n ⩾ 1

.
Wyraz

a_{4}

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

80

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(27, 9, a - 1)

jest geometryczny.
Liczba

a

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

W układzie współrzędnych zaznaczono kąt

α

o wierzchołku w punkcie

O = (0, 0)

. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią

O x

, a drugie przechodzi przez punkt

P = (- 3, 1)

(zobacz rysunek).

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

(- \frac{1}{3})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Dla każdego kąta ostrego

α

wyrażenie

sin^{4} α + sin^{2} α \cdot cos^{2} α

jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

sin^{2} α

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Punkty

A, B, C

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

. Kąt

A C O

ma miarę

70°

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

20°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

W rombie o boku długości

62

kąt rozwarty ma miarę

150°

. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

72

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Przez punkty

A

i

B

, leżące na okręgu o środku

O

, poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie

C

(zobacz rysunek).

Miara kąta

A C B

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

40°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ B C ∣ = 6

. Miara kąta

A C B

jest równa

150°

(zobacz rysunek).

Wysokość trójkąta

A B C

opuszczona z wierzchołka

B

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Dana jest prosta

k

o równaniu

y = - \frac{1}{3} x + 2

. Prosta o równaniu

y = a x + b

jest równoległa do prostej

k

i przechodzi przez punkt

P = (3, 5)

, gdy

Poprawna odpowiedź

D.

a = - \frac{1}{3}

i

b = 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Dane są punkty

K = (- 3, - 7)

oraz

S = (5, 3)

. Punkt

S

jest środkiem odcinka

K L

. Wtedy punkt

L

ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

B.

(13, 13)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Dana jest prosta o równaniu

y = 2 x - 3

. Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

A.

y = 2 x + 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość

15

. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem

α

takim, że

cos α = \frac{2}{3}

.
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

45

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Średnia arytmetyczna liczb

x

,

y

,

z

jest równa

4

.
Średnia arytmetyczna czterech liczb:

1 + x

,

2 + y

,

3 + z

,

14

, jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry

0

,

5

,

7

(np.

57075

,

55555

), jest

Poprawna odpowiedź

C.

2 \cdot 3^{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

1 pkt

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby

W

wszystkich wierzchołków do liczby

K

wszystkich krawędzi jest równy

\frac{W}{K} = \frac{3}{5}

.
Podstawą tego ostrosłupa jest

Poprawna odpowiedź

B. pięciokąt foremny.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Rozwiąż nierówność

x (x - 2) > 2 x^{2} - 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- 3, 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości

8910

zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o

30

zł.
Oblicz kwotę pierwszej raty.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{1} = 750

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} + y^{2} + 5 > 2 x + 4 y

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Dowód

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

Trójkąty prostokątne

T_{1}

i

T_{2}

są podobne. Przyprostokątne trójkąta

T_{1}

mają długości

5

i

12

. Przeciwprostokątna trójkąta

T_{2}

ma długość

26

.
Oblicz pole trójkąta

T_{2}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P_{2} = 120

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

W kwadracie

A B C D

punkty

A = (- 8, - 2)

oraz

C = (0, 4)

są końcami przekątnej.
Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną

B D

tego kwadratu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

y = - \frac{4}{3} x - \frac{13}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

2 pkt

Ze zbioru ośmiu liczb

{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez

15

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{3}{32}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 36

5 pkt

Podstawą graniastosłupa prostego

A B C D E F

jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

,

∣ A B ∣ = 8

. Wysokość trójkąta

A B C

, poprowadzona z wierzchołka

C

, ma długość

3

. Przekątna

C E

ściany bocznej tworzy z krawędzią

C B

podstawy

A B C

kąt

60°

(zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = 24 + 903

,

V = 603

Rozwiązanie krok po kroku