Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A.
B.
C.
D.
Poprawna odpowiedź
B.
Nierówność ∣x−1∣≥3 oznacza, że liczba x−1 jest oddalona od zera o co najmniej 3, czyli spełnia jedną z dwóch nierówności:
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.
Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.
Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)≥0 jest przedział ___.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.
Funkcje kwadratowe g oraz h są określone za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+3), h(x)=f(−x).
Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji g oraz fragment wykresu funkcji h.
Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji g oraz h przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.
Fragment wykresu funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku
___
Fragment wykresu funkcji y=h(x) przedstawiono na rysunku
Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (−1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (−165).
Dany jest trójkąt KLM, w którym ∣KM∣=a, ∣LM∣=b oraz a=b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że ∣KN∣=c, ∣NL∣=d oraz ∣MN∣=e (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A=(−2,6) oraz B=(10,2). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P=(6,7).
Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa
Dany jest pięcioelementowy zbiór K={5,6,7,8,9}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.
Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
Rozwiązujemy obie nierówności:
x−1≥3x≥4x−1≤−3x≤−2
Zbiorem rozwiązań jest suma obu przedziałów, z domkniętymi końcami (bo nierówność jest nieostra): (−∞,−2]∪[4,+∞). Na osi liczbowej odpowiada temu zamalowany obszar na zewnątrz [−2,4] z wypełnionymi (domkniętymi) kółkami w punktach −2 i 4 — czyli rysunek B.
B.216
C.212
D.28
B. 216
Zapisujemy obie liczby jako potęgi liczby 2:
16=24,8=23
Podstawiamy i korzystamy z praw działań na potęgach (potęga ilorazu, potęga potęgi):
(241)8⋅(23)16=2−32⋅248
Mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodając wykładniki:
2−32+48=216
n2+(n+1)2+(n+2)2=3(n2+2n+1)+2
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Oznaczamy x=log39, czyli szukamy takiego wykładnika, aby (3)x=9. Zapisujemy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi liczby 3:
3=321,9=32321x=32
Skoro podstawy po obu stronach są równe, wykładniki też muszą być równe:
21x=2⟹x=4
A.8a2
B.8ab
C.−8ab
D.2b2
B. 8ab
Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów x2−y2=(x−y)(x+y) dla x=2a+b i y=2a−b:
(2a+b)2−(2a−b)2=[(2a+b)−(2a−b)]⋅[(2a+b)+(2a−b)]
Upraszczamy oba nawiasy:
(2a+b)−(2a−b)=2b(2a+b)+(2a−b)=4a
Mnożymy otrzymane wyniki:
2b⋅4a=8ab
A.(−∞,−32)
B.(−∞,32)
C.(−32,+∞)
D.(32,+∞)
D. (32,+∞)
Przenosimy wyraz z x z prawej strony na lewą, dodając x do obu stron:
1−23x+x1−21x<32<32
Przenosimy wyraz wolny na prawą stronę:
−21x−21x<32−1<−31
Dzielimy obie strony przez −21 (liczbę ujemną), zmieniając kierunek nierówności:
x>32
C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (−2) oraz 3.
D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (−1), (−2) oraz 3.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (−1).
Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik musi być różny od zera. Mianownik zeruje się dla x=−2 oraz x=3, więc dziedziną równania jest zbiór liczb x=−2 i x=3.
Przyrównujemy licznik do zera:
x+1=0⟹x=−1
Liczba x=−1 należy do dziedziny, więc jest jedynym rozwiązaniem równania.
PF
Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie – mnożymy wielomiany F i G:
F(x)⋅G(x)=3x(x2+2x+3)=3x3+6x2+9x=W(x)
Iloczyn F(x)⋅G(x) jest równy W(x), więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Sprawdzamy drugie stwierdzenie – obliczamy wartość wielomianu W dla x=−1:
W(−1)=3⋅(−1)3+6⋅(−1)2+9⋅(−1)=−3+6−9=−6
Ponieważ W(−1)=−6=0, liczba (−1) nie jest rozwiązaniem równania W(x)=0 – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F).
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Ponieważ w obu sadach łącznie posadzono 1960 drzew:
x+y=1960
Po roku w pierwszym sadzie uschło 5% drzew, więc pozostało 0,95x drzew; w drugim sadzie uschło 10%, więc pozostało 0,9y drzew. Liczba drzew pozostałych w drugim sadzie stanowiła 60% liczby drzew pozostałych w pierwszym sadzie, czyli:
0,9y=0,6⋅0,95x
Otrzymujemy układ równań zgodny z odpowiedzią A:
x+y=19600,6⋅0,95x=0,9y
B.⎩⎨⎧y=23x+3y=−32x−1
C.⎩⎨⎧y=23x+3y=23x−1
D.⎩⎨⎧y=−23x−3y=23x+1
A. ⎩⎨⎧y=−23x+3y=−23x−1
Proste na rysunku są równoległe, więc oba równania układu muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy. Tylko w odpowiedziach A i C obie proste mają równe współczynniki kierunkowe (w B i D są różne), więc odpadają B i D.
Proste na rysunku są malejące, więc współczynnik kierunkowy musi być ujemny. W odpowiedzi C wynosi on 23>0 (proste rosnące), a w odpowiedzi A wynosi −23<0 – zgodnie z rysunkiem. Zostaje odpowiedź A.
A.(−∞,1)
B.(−∞,−23)
C.(1,+∞)
D.(23,+∞)
D. (23,+∞)
Funkcja liniowa f(x)=ax+b jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy a jest ujemny. W naszym przypadku a=−2k+3, więc:
−2k+3<0
Rozwiązujemy nierówność:
−2k+3−2kk<0<−3>23
Funkcja f jest malejąca dla k∈(23,+∞).
A.−27
B.−72
C.72
D.27
D. 27
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji f:
3x+6=03x=−6x=−2
Funkcja g ma to samo miejsce zerowe, więc g(−2)=0:
a⋅(−2)+7=0
Rozwiązujemy równanie względem a:
−2a+7=0−2a=−7a=27
[−2,4]
Z wykresu odczytujemy, że ramiona paraboli są skierowane w dół, a miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia z osią Ox) to x=−2 oraz x=4.
Funkcja przyjmuje wartości nieujemne pomiędzy miejscami zerowymi (łącznie z nimi), zatem zbiorem rozwiązań nierówności f(x)≥0 jest przedział:
x∈[−2,4]
A.f(x)=−(x+1)2−9
B.f(x)=−(x−1)2+9
C.f(x)=−(x−1)2−9
D.f(x)=−(x+1)2+9
B. f(x)=−(x−1)2+9
Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: (1,9).
Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej to f(x)=a(x−p)2+q, gdzie (p,q) są współrzędnymi wierzchołka. Ramiona paraboli są skierowane w dół, więc współczynnik a jest ujemny. Postać kanoniczna funkcji to:
f(x)=−(x−1)2+9
A.f(−4)=f(6)
B.f(−4)=f(5)
C.f(−4)=f(4)
D.f(−4)=f(7)
A. f(−4)=f(6)
Parabola jest symetryczna względem prostej przechodzącej przez jej wierzchołek, czyli prostej x=1.
Punkt x=−4 leży w odległości 5 od osi symetrii (1−(−4)=5), więc jego lustrzane odbicie względem tej osi to x=1+5=6. Zatem:
f(−4)=f(6)
g: A; h: E
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Wyraz a1=4 jest rzeczywiście dwa razy większy od wyrazu a3=2, więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).
Obliczamy drugi wyraz ciągu:
a2=(−1)2⋅(2−5)=−3
Ponieważ a2=−3<0, nie wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie – drugie stwierdzenie jest fałszywe (F). Dodatkowo wyrażenie (−1)n jest zawsze ujemne dla nieparzystych n i dodatnie dla parzystych, więc od pewnego momentu ten ciąg będzie zmieniał znak z plusa na minus co wyraz.
B2
Ponieważ ciąg jest geometryczny, kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
62=12⋅(2m−1)
Rozwiązujemy równanie:
36=24m−1224m=48m=2
Iloraz ciągu wynosi q=126=21. Ponieważ 0<q<1, a wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, ciąg jest malejący.
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Kąt α należy do drugiej ćwiartki układu współrzędnych (90°<α<180°), więc sinα>0 oraz cosα<0.
Skoro sinus jest dodatni, a kosinus ujemny, ich iloczyn jest ujemny:
sinα⋅cosα<0
To odpowiada zależności B, jednocześnie wykluczając A (sinα<0 jest fałszywe), C i D.
Z definicji tangensa mamy tgα=cosαsinα=−3, co po przekształceniu daje:
sinα=−3cosα
To odpowiada zależności F (zależność E odpowiadałaby tgα=−31, co jest niezgodne z treścią zadania).
C.tg20°
D.sin20°⋅cos20°
B. sin20°
Wyłączamy sin20° przed nawias:
sin320°+cos220°⋅sin20°=sin20°(sin220°+cos220°)
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej sin220°+cos220°=1:
sin20°⋅1=sin20°
A.a⋅b=c⋅d
B.a⋅d=b⋅c
C.a⋅c=b⋅d
D.a⋅b=e⋅e
B. a⋅d=b⋅c
Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wiemy, że dwusieczna kąta KML dzieli przeciwległy bok KL na odcinki proporcjonalne do boków, między którymi ten kąt jest zawarty:
∣NL∣∣KN∣=∣LM∣∣KM∣
Podstawiamy oznaczenia z treści zadania:
dc=ba
Mnożymy obie strony na krzyż:
a⋅d=b⋅c
C.6
D.63
D. 63
Pole równoległoboku o bokach p, q i kącie α zawartym między nimi obliczamy ze wzoru:
P=p⋅q⋅sinα
Podstawiamy dane (p=3, q=4, α=120°), korzystając z sin120°=23:
P=3⋅4⋅sin120°=12⋅23=63
A.42°
B.45°
C.48°
D.69°
C. 48°
Kąt środkowy ASB oparty na tym samym łuku AB co kąt wpisany ACB jest dwa razy większy od kąta wpisanego:
∣∠ASB∣=2⋅∣∠ACB∣=2⋅42°=84°
Odcinki SA i SB są promieniami tego samego okręgu, więc trójkąt ASB jest równoramienny, a kąty przy podstawie AB są równe:
∣∠SAB∣=∣∠SBA∣=2180°−84°=48°
Kąt BAS to ten sam kąt co SAB, więc jego miara jest równa 48°.
A.(−21)
B.21
C.(−3)
D.1
A. (−21)
Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy −1:
(m+1)⋅(−2)=−1
Rozwiązujemy równanie:
−2m−2=−1−2m=1m=−21
∣BC∣=213
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny o boku a. Jego pole wyraża się wzorem P=233a2. Korzystamy z danego pola podstawy, aby wyznaczyć a:
233a2=153a2=10a=10
Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego jest prostokątem o bokach a oraz h (wysokość bryły). Obliczamy jej pole:
P=a⋅h=10⋅6=610
A.B.
C.D.
D.
Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego łączy wierzchołek podstawy dolnej z wierzchołkiem podstawy górnej leżącym po przeciwnej stronie sześciokąta (naprzeciwko, przez środek figury) - to ona ma największą długość spośród wszystkich odcinków łączących wierzchołki bryły.
Kątem nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy jest kąt między nią a jej rzutem prostokątnym na podstawę, czyli między przekątną a najdłuższą przekątną sześciokąta (łączącą te same, przeciwległe wierzchołki podstawy dolnej). Taki układ - kąt przy wierzchołku podstawy, pomiędzy najdłuższą przekątną sześciokąta a odcinkiem biegnącym do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy - przedstawia rysunek D.
4
Bryły podobne F1 i F2 mają skalę podobieństwa k taką, że stosunek ich objętości jest równy k3. Wyznaczamy k:
k3=V1V2=64512=8k=2
Stosunek pól powierzchni całkowitych brył podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa:
P1P2=k2=22=4
C. 24
Każdy kod to ustawienie w rzędzie czterech różnych cyfr - jest to permutacja czteroelementowego zbioru.
4!=4⋅3⋅2⋅1=24
B.6
C.4,5
D.18
A. 9
Z warunku zadania wyznaczamy sumę liczb a, b, c:
3a+b+c=9a+b+c=27
Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb a,a,b,b,c,c:
62a+2b+2c=62(a+b+c)=3a+b+c=327=9
A.4,5
B.4
C.3,5
D.3
C. 3,5
Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów z poszczególnymi ocenami:
ocenę 1 - 2 osoby
ocenę 2 - 7 osób
ocenę 3 - 4 osoby
ocenę 4 - 3 osoby
ocenę 5 - 6 osób
ocenę 6 - 4 osoby
Sprawdzian pisało łącznie:
2+7+4+3+6+4=26
Liczba uczniów jest parzysta, więc medianą jest średnia arytmetyczna 13. i 14. wyniku w uporządkowanym ciągu ocen. Szukamy jakie oceny są na 13 i 14 miejscu.
ocenę 1 - 2 osoby - suma 2
ocenę 2 - 7 osób - suma 9
ocenę 3 - 4 osoby - suma 13 - miejsce 13 jest tutaj
ocenę 4 - 3 osoby - suma 16 - miejsce 14 jest tutaj
ocenę 5 - 6 osób
ocenę 6 - 4 osoby
Obliczamy medianę:
M=23+4=3,5
Zdarzeniami elementarnymi są pary liczb (x,y), gdzie x,y∈{5,6,7,8,9}. Losowanie jest ze zwracaniem, więc liczbę wszystkich zdarzeń obliczamy z reguły mnożenia:
∣Ω∣=5⋅5=25
Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze K są 3 liczby nieparzyste (5,7,9) i 2 liczby parzyste (6,8). Liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A obliczamy z reguły mnożenia i reguły dodawania:
∣A∣=3⋅3+2⋅2=13
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
P(A)=∣Ω∣∣A∣=2513
x=4,5 m, y=3 m
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.