Matura podstawowa maj 2024, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Dana jest nierówność

∣ x - 1∣ \geq 3

Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

B.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

(\frac{1}{16})^{8} \cdot 8^{16}

jest równa

B.

2^{16}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

liczba

n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2}

przy dzieleniu przez

3

daje resztę

2

.

n^{2} + (n + 1)^{2} + (n + 2)^{2} = 3 (n^{2} + 2 n + 1) + 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

lo g_{3} 9

jest równa

C.

4

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej liczby rzeczywistej

b

wartość wyrażenia

(2 a + b)^{2} - (2 a - b)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

B.

8 ab

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

1 - \frac{3}{2} x < \frac{2}{3} - x

jest przedział

D.

(\frac{2}{3}, + \infty)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

1 pkt

Równanie

\frac{x + 1}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie:

(- 1)

.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

1 pkt

Dany jest wielomian

W (x) = 3 x^{3} + 6 x^{2} + 9 x

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wielomian $W$ jest iloczynem wielomianów $F (x) = 3 x$ i $G (x) = x^{2} + 2 x + 3$ .
Liczba $(- 1)$ jest rozwiązaniem równania $W (x) = 0$ .

PF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

3 pkt

Rozwiąż równanie

x^{3} - 2 x^{2} - 3 x + 6 = 0

Zapisz obliczenia.

x = - 3

lub

x = 3

lub

x = 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

1 pkt

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie

1960

drzew. Po roku stwierdzono, że uschło

5%

drzew w pierwszym sadzie i

10%

drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła

60%

liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech

x

oraz

y

oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby

x

drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby

y

drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

A.

{x + y = 1960 0, 6 \cdot 0, 95 x = 0, 9 y

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

1 pkt

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

A.

⎩ ⎨ ⎧ y = - \frac{3}{2} x + 3 y = - \frac{3}{2} x - 1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (- 2 k + 3) x + k - 1

, gdzie

k \in R

.

Funkcja

f

jest malejąca dla każdej liczby

k

należącej do przedziału

D.

(\frac{3}{2}, + \infty)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

1 pkt

Funkcje liniowe

f

oraz

g

, określone wzorami

f (x) = 3 x + 6

oraz

g (x) = a x + 7

, mają to samo miejsce zerowe.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Współczynnik

a

we wzorze funkcji

g

jest równy

D.

\frac{7}{2}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.1

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

f (x) \geq 0

jest przedział ___.

[- 2, 4]

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.2

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

B.

f (x) = - (x - 1)^{2} + 9

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.3

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dla funkcji

f

prawdziwa jest równość

A.

f (- 4) = f (6)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14.4

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej

f

(zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcje kwadratowe

g

oraz

h

są określone za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (x + 3)

,

h (x) = f (- x)

.

Na rysunkach A–F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

, fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji

g

oraz fragment wykresu funkcji

h

.

Zaznacz dwie odpowiedzi: rysunek przedstawiający fragment wykresu funkcji

g

oraz rysunek przedstawiający fragment wykresu funkcji

h

.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

A, E

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 1)^{n} \cdot (n - 5)

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu $(a_{n})$ jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.
Wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie.

PF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

1 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(12, 6, 2 m - 1)

jest geometryczny.

Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.

Ten ciąg jest

	oraz

Zaznacz jedną literę i jedną cyfrę.

B2

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

2 pkt

Ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy

(- 1)

, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

(- 165)

.

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

r = - 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 18

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono kąt o mierze

α

taki, że

tg α = - 3

oraz

90° < α < 180°

(zobacz rysunek).

Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Prawdziwe są zależności: ………… oraz ………… .

Zaznacz dwie odpowiedzi.

BF

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 19

1 pkt

Liczba

sin^{3} 20° + cos^{2} 20° \cdot sin 20°

jest równa

B.

sin 20°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 20

1 pkt

Dany jest trójkąt

K L M

, w którym

∣ K M ∣ = a

,

∣ L M ∣ = b

oraz

a \neq = b

. Dwusieczna kąta

K M L

przecina bok

K L

w punkcie

N

takim, że

∣ K N ∣ = c

,

∣ N L ∣ = d

oraz

∣ M N ∣ = e

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

W trójkącie

K L M

prawdziwa jest równość

B.

a \cdot d = b \cdot c

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 21

1 pkt

Dany jest równoległobok o bokach długości

3

i

4

oraz o kącie między nimi o mierze

120°

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego równoległoboku jest równe

D.

63

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 22

1 pkt

W trójkącie

A B C

, wpisanym w okrąg o środku w punkcie

S

, kąt

A C B

ma miarę

42°

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta ostrego

B A S

jest równa

C.

48°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 23

1 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (m + 1) x + 7

l : y = - 2 x + 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Proste

k

oraz

l

są prostopadłe, gdy liczba

m

jest równa

A.

(- \frac{1}{2})

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 24

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest równoległobok

A B C D

, w którym

A = (- 2, 6)

oraz

B = (10, 2)

. Przekątne

A C

oraz

B D

tego równoległoboku przecinają się w punkcie

P = (6, 7)

.

Oblicz długość boku

B C

tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

∣ B C ∣ = 213

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25.1

1 pkt

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa

6

(zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe

153

.

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

C.

610

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 25.2

1 pkt

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa

6

(zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe

153

.

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

D.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 26

1 pkt

Ostrosłup

F_{1}

jest podobny do ostrosłupa

F_{2}

.
Objętość ostrosłupa

F_{1}

jest równa

64

.
Objętość ostrosłupa

F_{2}

jest równa

512

.

Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa

F_{2}

do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa

F_{1}

jest równy ___.

4

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 27

1 pkt

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr

1

,

3

,

6

,

8

, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

C.

24

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 28

1 pkt

Średnia arytmetyczna trzech liczb:

a

,

b

,

c

, jest równa

9

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb:

a

,

a

,

b

,

b

,

c

,

c

, jest równa

A.

9

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 29

1 pkt

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

C.

3, 5

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 30

2 pkt

Dany jest pięcioelementowy zbiór

K = {5, 6, 7, 8, 9}

. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru

K

losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

P (A) = \frac{13}{25}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 31

4 pkt

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć

36

metrów bieżących siatki.

Oblicz wymiary

x

oraz

y

jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

x = 4, 5

m,

y = 3

m

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie