Matura rozszerzona czerwiec 2020

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Wielomian

W

określony wzorem

W (x) = x^{2019} - 3 x^{2000} + 2 x + 6

Poprawna odpowiedź

B. jest podzielny przez

(x + 1)

i z dzielenia przez

(x - 1)

daje resztę równą

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = \frac{3 n ^{2} + 7 n - 5}{11 - 5 n + 5 n ^{2}}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Granica tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{3}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Poprawna odpowiedź

\frac{2}{15}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego

(x 2 + y 3)^{4}

do postaci

a x^{4} + b x^{3} y + c x^{2} y^{2} + d x y^{3} + e y^{4}

współczynnik

c

jest równy

Poprawna odpowiedź

36

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

2 pkt

W trójkącie

A B C

bok

A B

jest 3 razy dłuższy od boku

A C

, a długość boku

B C

stanowi

\frac{4}{5}

długości boku

A B

. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta

A B C

.
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

cos β = \frac{43}{45}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

3 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

a

, dla których równanie

∣ x - 5∣ = (a - 1)^{2} - 4

ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a \in (- 2, - 1) \cup (3, 4)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

3 pkt

Dany jest trójkąt równoramienny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 6

, a punkt

D

jest środkiem podstawy

A B

. Okrąg o środku

D

jest styczny do prostej

A C

w punkcie

M

. Punkt

K

leży na boku

A C

, punkt

L

leży na boku

B C

, odcinek

K L

jest styczny do rozważanego okręgu oraz

∣ K C ∣ = ∣ L C ∣ = 2

(zobacz rysunek).Wykaż, że

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{∣ A M ∣}{∣ M C ∣} = \frac{4}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

3 pkt

Liczby dodatnie

a

b

spełniają równość

a^{2} + 2 a = 4 b^{2} + 4 b

. Wykaż, że

a = 2 b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Wykazano, że

a = 2 b

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

Rozwiąż równanie

3 cos 2 x + 10 cos^{2} x = 24 sin x - 3

dla

x \in ⟨ 0, 2 π ⟩

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{π}{6}

lub

x = \frac{5 π}{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

5 pkt

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

spełniona jest równość

a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{21}{4}

.
Wyrazy

a_{1}

a_{2}

a_{3}

są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz

a_{1}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{1} = 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

4 pkt

Dane jest równanie kwadratowe

x^{2} - (3 m + 2) x + 2 m^{2} + 7 m - 15 = 0

z niewiadomą

x

. Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których różne rozwiązania

x_{1}

x_{2}

tego równania istnieją i spełniają warunek

2 x_{1}^{2} + 5 x_{1} x_{2} + 2 x_{2}^{2} = 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m = - \frac{9}{5}

lub

m = \frac{1}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

Prosta o równaniu

x + y - 10 = 0

przecina okrąg o równaniu

x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 8 = 0

w punktach

K

L

. Punkt

S

jest środkiem cięciwy

K L

. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku

S

i skali

k = - 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(x - 10)^{2} + (y - 9)^{2} = 153

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

4 pkt

Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry

1

i dokładnie dwie cyfry

2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

12960

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

6 pkt

Podstawą ostrosłupa czworokątnego

A B C D S

jest trapez

A B C D

(

A B ∥ C D

). Ramiona tego trapezu mają długości

∣ A D ∣ = 10

∣ B C ∣ = 16

, a miara kąta

A B C

jest równa

30°

. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt

α

, taki, że

tg α = \frac{9}{2}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 624

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

7 pkt

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe

0, 5

cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe

0, 3

cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem czerwonym). Sam ekran ma mieć powierzchnię

60 cm^{2}

. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = 100 mm, y = 60 mm

Rozwiązanie krok po kroku