Matura podstawowa czerwiec 2021, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Wartość wyrażenia

2 \cdot (2 - 3) + 3 \cdot (2 - 3)

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

- 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

(7^{\frac{5}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{4}})^{\frac{2}{3}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

7^{1}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Niech

lo g_{3} 18 = c

. Wtedy

lo g_{3} 54

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

c + 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Cenę drukarki obniżono o

20%

, a następnie nową cenę obniżono o

10%

. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o

Poprawna odpowiedź

B.

28%

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wyrażenie

(x - 1)^{2} - (2 - x)^{2}

jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

2 x - 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych

x

, spełniających jednocześnie nierówności

0 < 7 - 3 x

oraz

7 - 3 x \leq 5 x - 3

.

A.
B.
C.
D.

Poprawna odpowiedź

B.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Rozwiązaniem równania

x 3 + 2 = 2 x - 8

jest liczba

Poprawna odpowiedź

A.

10 (2 + 3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Równanie

\frac{x ^{2} - 7 x}{x ^{2} - 49} = 0

ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie

Poprawna odpowiedź

A. jedno rozwiązanie.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej w zbiorze

(- 1, 7)

.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Poprawna odpowiedź

C. Funkcja

f

osiąga wartość największą równą

1

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Wykresem funkcji kwadratowej

f

określonej wzorem

f (x) = - 3 (x + 4) (x - 2)

jest parabola o wierzchołku

W = (p, q)

. Współrzędne wierzchołka

W

spełniają warunki

Poprawna odpowiedź

B.

p < 0

i

q > 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Informacja do zadań 11. i 12.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

2

. Do wykresu funkcji

f

należy punkt

(0, 3)

. Prosta o równaniu

x = - 2

jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji

f

.

Drugim miejscem zerowym funkcji

f

jest liczba

Poprawna odpowiedź

D.

- 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Informacja do zadań 11. i 12.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej

f

. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba

2

. Do wykresu funkcji

f

należy punkt

(0, 3)

. Prosta o równaniu

x = - 2

jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji

f

.

Wartość funkcji

f

dla argumentu

(- 4)

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Dane są ciągi

(a_{n})

,

(b_{n})

,

(c_{n})

,

(d_{n})

, określone dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

wzorami:

a_{n} = 20 n + 3, b_{n} = 2 n^{2} - 3, c_{n} = n^{2} + 10 n - 2, d_{n} = \frac{n + 187}{n}

Liczba

197

jest dziesiątym wyrazem ciągu

Poprawna odpowiedź

B.

(b_{n})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek

a_{3} = a_{1} \cdot a_{2}

. Niech

q

oznacza iloraz ciągu

(a_{n})

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

B.

a_{1} = q

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Kąt o mierze

α

jest ostry i

tg α = 5

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

A.

cos^{2} α = \frac{1}{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Na okręgu o środku w punkcie

O

leżą punkty

A

,

B

oraz

C

. Odcinek

A C

jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy

A O B

ma miarę

82°

(zobacz rysunek).

Miara kąta

O B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

41°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie

A

. Punkty

B

i

C

są położone na okręgu tak, że

B C

jest jego średnicą. Cięciwa

A B

tworzy ze styczną kąt o mierze

40°

(zobacz rysunek).

Miara kąta

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

50°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

o bokach

∣ A C ∣ = 24

,

∣ B C ∣ = 10

,

∣ A B ∣ = 26

. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie

P

(zobacz rysunek).

Odległość

x

punktu

P

od przeciwprostokątnej

A B

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Jeden z boków równoległoboku ma długość równą

5

. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości

Poprawna odpowiedź

C.

10

i

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę

120°

, a najdłuższy bok ma długość

12

(zobacz rysunek).

Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą

Poprawna odpowiedź

B.

23

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Prosta przechodząca przez punkty

(- 4, - 1)

oraz

(5, 5)

ma równanie

Poprawna odpowiedź

B.

y = \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Proste o równaniach

y = - \frac{1}{m - 2} x - 1

i

y = \frac{1}{3} x + 1

są równoległe. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

B.

m = - 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W prostokącie

A B C D

dane są wierzchołki

C = (- 3, 1)

oraz

D = (2, 1)

. Bok

A D

ma długość

6

. Pole tego prostokąta jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

30

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Obrazem prostej o równaniu

x - 2 y + 3 = 0

w symetrii osiowej względem osi

O y

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

C.

x + 2 y - 3 = 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Graniastosłup prawidłowy ma

36

krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa

4

. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

192

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest

2

razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{4 3}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera: spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o

25%

więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{4}{9}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich:

2, 3 x, 3 x + 2, 3 x + 4

jest równa

\frac{13}{2}

. Wynika stąd, że

Poprawna odpowiedź

D.

x = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Rozwiąż nierówność:

2 (x + 1) (x - 3) < x^{2} - 9

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (1, 3)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych

a

,

b

i

c

takich, że

\frac{a + b}{2} > c

i

\frac{b + c}{2} > a

, prawdziwa jest nierówność

\frac{a + c}{2} < b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność

\frac{a + c}{2} < b

jest prawdziwa, co należało wykazać.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Dany jest ciąg arytmetyczny

(a_{n})

, określony dla wszystkich liczb naturalnych

n \geq 1

. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

20 a_{21} + 62

. Oblicz różnicę ciągu

(a_{n})

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

r = - \frac{31}{105}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Dany jest trapez o podstawach długości

a

oraz

b

i wysokości

h

. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o

25%

, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość

h

trapezu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

20%

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

W trójkącie

A B C

boki

B C

i

A C

są równej długości. Prosta

k

jest prostopadła do podstawy

A B

tego trójkąta i przecina boki

A B

oraz

B C

odpowiednio w punktach

D

i

E

. Pole czworokąta

A D E C

jest

17

razy większe od pola trójkąta

B E D

. Oblicz

\frac{∣ C E ∣}{∣ E B ∣}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{∣ C E ∣}{∣ E B ∣} = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru

{3, 4, 5, 6, 7, 8}

, a cyfra jedności należy do zbioru

{0, 1, 2, 3, 4}

, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez

4

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{3}{10}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

5 pkt

Podstawa

A B

trójkąta równoramiennego

A B C

jest zawarta w prostej o równaniu

y = - 2 x + 16

. Wierzchołki

B

i

C

mają współrzędne

B = (3, 10)

i

C = (- 2, 3)

. Oblicz współrzędne wierzchołka

A

i pole trójkąta

A B C

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

A = (\frac{33}{5}, \frac{14}{5})

,

P_{A B C} = \frac{153}{5}

Rozwiązanie krok po kroku