Matura podstawowa sierpień 2022, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

\frac{8 ^{- 40}}{2 ^{10}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

2^{- 130}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

lo g_{2} 32 - lo g_{2} 8

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

(5 - 23)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

37 - 203

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Cenę

x

(w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o

30%

, a następnie obniżono o

20%

w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

0, 56 \cdot x

złotych.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Jednym z rozwiązań równania

5 (x + 1) - x^{2} (x + 1) = 0

jest liczba

Poprawna odpowiedź

B.

(- 1)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\frac{8 x - 3}{4} > 6 x

jest przedział

Poprawna odpowiedź

C.

(- \infty, - \frac{3}{16})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Suma wszystkich rozwiązań równania

(2 x - 1) (2 x - 2) (x + 2) = 0

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

(- \frac{1}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Punkt

A = (1, 2)

należy do wykresu funkcji

f

, określonej wzorem

f (x) = (m^{2} - 3) x^{3} - m^{2} + m + 1

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

D.

m = 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Funkcja liniowa

f

określona wzorem

f (x) = (2 m - 5) x + 22

jest rosnąca dla

Poprawna odpowiedź

B.

m > 2, 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = x^{2} + b x + c

osiąga dla

x = 2

wartość najmniejszą równą

4

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

A.

b = - 4, c = 8

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Dana jest funkcja kwadratowa

f

określona wzorem

f (x) = - 2 (x - 2) (x + 1)

. Funkcja

f

jest rosnąca w zbiorze

Poprawna odpowiedź

A.

(- \infty, \frac{1}{2} ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

f

określonej na zbiorze

⟨ - 2, 5)

.

Funkcja

g

jest określona za pomocą funkcji

f

następująco:

g (x) = f (x - 1)

. Wykres funkcji

g

można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji

f

. Dziedziną funkcji

g

jest zbiór

Poprawna odpowiedź

B.

⟨ - 1, 6)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Dane są ciągi

a_{n} = 3 n

oraz

b_{n} = 4 n - 2

, określone dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Liczba

10

Poprawna odpowiedź

C. nie jest wyrazem ciągu

(a_{n})

i jest wyrazem ciągu

(b_{n})

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu

(a_{n})

są równe

2

. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

D.

31

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem

1200

guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

Poprawna odpowiedź

C.

1000

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Przyprostokątna

A C

trójkąta prostokątnego

A B C

ma długość

6

, a przeciwprostokątna

A B

ma długość

35

. Wtedy tangens kąta ostrego

C A B

tego trójkąta jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{1}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Nie istnieje kąt ostry

α

taki, że

Poprawna odpowiedź

A.

sin α = \frac{1}{3}

i

cos α = \frac{2}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Wierzchołki

A

,

B

,

C

czworokąta

A B S C

leżą na okręgu o środku

S

. Kąt

A B S

ma miarę

40°

(zobacz rysunek), a przekątna

B C

jest dwusieczną tego kąta.

Miara kąta

A S C

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

40°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Punkty

A

oraz

B

leżą na okręgu o środku

S

. Kąt środkowy

A S B

ma miarę

100°

. Prosta

l

jest styczna do tego okręgu w punkcie

A

i tworzy z cięciwą

A B

okręgu kąt o mierze

α

(zobacz rysunek).

Wtedy

Poprawna odpowiedź

C.

α = 50°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Pole prostokąta jest równe

16

, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym

α

, takim, że

sin α = 0, 2

. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

410

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Proste o równaniach

y = \frac{2}{3} x - 3

oraz

y = (2 m - 1) x + 1

są prostopadłe, gdy

Poprawna odpowiedź

B.

m = - \frac{1}{4}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Punkty

A = (1, - 3)

oraz

C = (- 2, 4)

są końcami przekątnej

A C

rombu

A B C D

. Środek przekątnej

B D

tego rombu ma współrzędne

Poprawna odpowiedź

A.

(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Punkty

A = (- 6, 5)

,

B = (5, 7)

,

C = (10, - 3)

są wierzchołkami równoległoboku

A B C D

. Długość przekątnej

B D

tego równoległoboku jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

65

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Obrazem prostej o równaniu

y = 2 x + 5

w symetrii osiowej względem osi

O x

jest prosta o równaniu

Poprawna odpowiedź

B.

y = - 2 x - 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy

7 : 3

. Podstawą tego graniastosłupa jest

Poprawna odpowiedź

C. siedmiokąt

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Średnia arytmetyczna zestawu liczb

a, b, c, d

jest równa

20

. Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb

a - 10, b + 30, c, d

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od

300

o wszystkich cyfrach parzystych jest

Poprawna odpowiedź

D.

3 \cdot 5 \cdot 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu. Niech

p

oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez

3

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

C.

p = \frac{1}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 x^{2} - 8 x \geq 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [3, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Trójwyrazowy ciąg

(x, y - 4, y)

jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

6

. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(- 2, 2, 6)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

różnej od

0

i każdej liczby rzeczywistej

b

różnej od

0

spełniona jest nierówność

2 a^{2} - 4 ab + 5 b^{2} > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

2 a^{2} - 4 ab + 5 b^{2} = a^{2} + (a - 2 b)^{2} + b^{2} > 0

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Rozwiąż równanie

\frac{4}{x + 2} = x - 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - 3

lub

x = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny

A B C

o boku długości

24

. Punkt

E

leży na boku

A B

, a punkt

F

– na boku

B C

tego trójkąta. Odcinek

E F

jest równoległy do boku

A C

i przechodzi przez środek

S

wysokości

C D

trójkąta

A B C

(zobacz rysunek).

Oblicz długość odcinka

E F

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣ E F ∣ = 18

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

Ze zbioru pięciu liczb

{- 5, - 4, 1, 2, 3}

losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie

A

polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{12}{25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

5 pkt

Dany jest graniastosłup prosty

A B C D E F G H

, którego podstawą jest prostokąt

A B C D

. W tym graniastosłupie

∣ B D ∣ = 15

, a ponadto

∣ C D ∣ = 3 + ∣ B C ∣

oraz

∣∠ C D G ∣ = 60°

(zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 12963

,

P_{b} = 5043

Rozwiązanie krok po kroku