Matura podstawowa maj 2025 (F. 2015), arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Dodatnia liczba

a

stanowi

80%

liczby

b

.

Liczba

b

stanowi

Poprawna odpowiedź

A.

125%

liczby

a

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

(32 - 2)^{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

18

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Liczba

\frac{5 ^{12} + 5 ^{13} + 5 ^{14}}{5 ^{12}}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

31

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Liczba

lo g_{3} 108 - 2 lo g_{3} 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Dla każdej liczby rzeczywistej

x

wartość wyrażenia

(3 x + 2)^{2} - (2 x - 3)^{2}

jest równa wartości wyrażenia

Poprawna odpowiedź

C.

5 x^{2} + 24 x - 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Dana jest nierówność

3 - 2 (1 - 2 x) \geq 2 x - 17

Wybierz rysunek, na którym poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność.

A.

B.

C.

D.

Poprawna odpowiedź

D.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Równanie

2 x (x + 3) (x^{2} + 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Poprawna odpowiedź

A. dwa rozwiązania:

(- 3)

oraz

0

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.Dziedziną funkcji

f

jest przedział

Poprawna odpowiedź

B.

⟨ - 4, 4)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Na rysunku, w układzie współrzędnych

(x, y)

, przedstawiono wykres funkcji

f

.Funkcja

f

jest rosnąca w przedziale

Poprawna odpowiedź

A.

⟨ - 4, - 2 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja liniowa

f

jest określona wzorem

f (x) = (3 - m) x - 4

.

Funkcja

f

nie ma miejsca zerowego dla

m

równego

Poprawna odpowiedź

C.

3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (n + 3) (n - 5)

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Liczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Dany jest ciąg geometryczny

(a_{n})

określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, w którym

a_{1} = 27

oraz

a_{2} = 9

.

Czwarty wyraz ciągu

(a_{n})

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Kąt

α

jest ostry i spełnia warunek

3 t g α = 2 sin α

.

Cosinus kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

\frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Informacja do zadań 14.–15.
Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, punkt

D

jest środkiem przyprostokątnej

A B

oraz

∣ A B ∣ = 6

i

∣ C D ∣ = 5

. Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Informacja do zadań 14.–15.
Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, punkt

D

jest środkiem przyprostokątnej

A B

oraz

∣ A B ∣ = 6

i

∣ C D ∣ = 5

. Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

β

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{2}{13}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

Punkty

A

,

B

oraz

C

leżą na okręgu o środku w punkcie

O

.
Miara kąta

B C A

jest równa

50°

(zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego

A B O

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

40°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

W trójkącie równoramiennym

A B C

dane są:

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣ = 4

i

∣ A B ∣ = 3

.
Na boku

B C

, między punktami

B

i

C

, wybrano taki punkt

D

, że trójkąty

A B C

i

B D A

są podobne (zobacz rysunek).

Odcinek

B D

ma długość

Poprawna odpowiedź

B.

2, 25

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Dany jest trójkąt

A B C

, w którym

∣ A B ∣ = 11

,

∣ B C ∣ = 12

oraz

∣∠ A B C ∣ = 60°

(zobacz rysunek).

Pole trójkąta

A B C

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

333

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

proste

k

oraz

l

są określone równaniami

k : y = (m - 2) x + 5

l : y = - 4 x + (m + 3)

Proste

k

oraz

l

są równoległe, gdy liczba

m

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

(- 2)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

dany jest kwadrat

A B C D

, w którym

A = (4, - 1)

. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie

S = (1, 3)

.

Przekątna kwadratu

A B C D

ma długość

Poprawna odpowiedź

C.

10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Objętość sześcianu jest równa

729

.

Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

93

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

.
Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

10

. Wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka

S

do krawędzi podstawy

A B

tego ostrosłupa jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

537

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra

0

, jest

Poprawna odpowiedź

A.

45

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czerwone. Kule różnią się jedynie kolorem.
Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy

3 : 5

.
Z pudełka losujemy jedną kulę.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{3}{8}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb:

1, 2, 3, 4, 5, x, y

, jest równa

3

.

Suma

x + y

jest równa

Poprawna odpowiedź

C.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

2 pkt

Rozwiąż nierówność

3 (2 x^{2} + 1) < 11 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (\frac{1}{3}, \frac{3}{2})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 0

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + 2 y^{2} > 2 x y

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa, bo

4 x^{2} + (x - y)^{2} + y^{2} > 0

dla każdego

x \neq = 0

i dowolnego

y

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

2 pkt

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę

1200000

złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie

146700

złotych – zespół A wykorzystał

13%

przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał

11%

przyznanych mu środków.

Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

735000

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Wyznacz wszystkie wartości

m

, dla których trzywyrazowy ciąg

(2 m + 11, m^{2} + 3, 5 - m)

jest arytmetyczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m = - 2

lub

m = \frac{5}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej

24

uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.

Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\overset{x}{ˉ} = 4, 25

,

M_{e} = 4, 5

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Dane są dwa zbiory:

X = {1, 3, 5, 7, 9}

oraz

Y = {2, 4, 6, 8}

.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru

X

, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru

Y

i tworzymy uporządkowaną parę liczb

(x, y)

, gdzie

x

jest liczbą wylosowaną ze zbioru

X

oraz

y

jest liczbą wylosowaną ze zbioru

Y

.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że suma

x + y

wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez

3

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) = \frac{7}{20}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

4 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f (x) = a x^{2} + b x + c

.
Zbiorem wartości funkcji

f

jest przedział

(- \infty, 6 ⟩

. Parabola, która jest wykresem funkcji

f

, przechodzi przez punkty

A = (- 1, 3)

i

B = (5, 3)

.

Oblicz wartość współczynnika

c

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

c = \frac{14}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

4 pkt

Tworząca stożka ma długość

8

. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę

120°

.

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V = 64 π

,

P_{c} = 48 π + 32 π 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

5 pkt

W układzie współrzędnych

(x, y)

punkty

A = (- 2, - 1)

,

B = (0, 0)

oraz

C = (4, 8)

są wierzchołkami trapezu prostokątnego

A B C D

o podstawach

A B

i

C D

.
Kąt

D A B

jest prosty.

Oblicz współrzędne punktu

D

oraz długość odcinka

B D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

D = (- \frac{22}{5}, \frac{19}{5})

,

∣ B D ∣ = \frac{13 5}{5}

Rozwiązanie krok po kroku