Matura rozszerzona czerwiec 2016

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

\frac{3}{3}

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

1 pkt

Granica

n \to \infty lim \frac{- 7 n ^{3} + 3 n}{1 + 2 n + 3 n ^{2} + 4 n ^{5}}

jest równa

0

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

2 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

określony dla

n \geq 1

, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

12

. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

9, 2, 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

2 pkt

Dane są zdarzenia losowe

A, B \subset Ω

takie, że

P (A) = \frac{2}{7}

P (A \cup B) = \frac{3}{5}

. Oblicz

P (B ∖ A)

, gdzie zdarzenie

B ∖ A

oznacza różnicę zdarzeń

B

A

. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

3, 1, 4

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

4 pkt

Wykaż, że dla

a, b, c, d > 0

prawdziwa jest nierówność

a + b \cdot c + d \geq a c + b d

Nierówność jest równoważna nierówności

(a d - b c)^{2} \geq 0

, która jest prawdziwa dla

a, b, c, d > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

4 pkt

Rozwiąż nierówność

∣ x^{2} - 3 x + 2∣ \geq ∣ x - 1∣

x \in (- \infty, 1] \cup [3, + \infty)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

3 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony dla każdej liczby całkowitej

n \geq 1

, w którym

a_{4} = 4

oraz dla każdej liczby

n \geq 1

prawdziwa jest równość

a_{n + 1} = a_{n} + n - 4

. Oblicz pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

i ustal, czy ciąg ten jest malejący.

a_{1} = 10

Ciąg nie jest malejący, bo

a_{5} = a_{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

3 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

. Przez wierzchołki

A

C

oraz środek

K

krawędzi

B F

poprowadzono płaszczyznę, która przecina przekątną

B H

w punkcie

P

(zobacz rysunek).

Wykaż, że

∣ B P ∣ : ∣ H P ∣ = 1 : 3

Punkt

P

dzieli przekątną

B H

na odcinki

∣ B P ∣ = \frac{1}{4} ∣ B H ∣

∣ H P ∣ = \frac{3}{4} ∣ B H ∣

, więc

∣ B P ∣ : ∣ H P ∣ = 1 : 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

4 pkt

Liczba

m

jest sumą odwrotności dwóch różnych pierwiastków równania

k^{2} x^{2} + (k - 1) x + 1 = 0

, gdzie

k \neq = 0

.

Wyznacz zbiór wartości funkcji określonej wzorem

f (x) = 2^{m}

(34, 2) \cup (2, 4)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

3 pkt

Rozwiąż nierówność

(2 sin x - 3) (2 sin x + 1) > 0

w przedziale

x \in (0, 2 π)

x \in (\frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

4 pkt

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy

\frac{1}{2}

. Oblicz cosinusy kątów ostrych tego trójkąta.

cos α = \frac{7 - 1}{4}

cos β = \frac{7 + 1}{4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

4 pkt

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

28750

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16

5 pkt

Punkty

A = (- 7, - 2)

B = (4, - 7)

są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego

A B C

, a wysokość opuszczona z wierzchołka

A

tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu

2 x + 19 y + 52 = 0

. Oblicz współrzędne wierzchołka

C

C = (6, 12)

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 17

7 pkt

Rozpatrujemy wszystkie walce, których pole powierzchni całkowitej jest równe

2 π

. Oblicz promień podstawy tego walca, który ma największą objętość. Podaj tę największą objętość.

r = \frac{3}{3}

V = \frac{2 3}{9} π

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie