Matura rozszerzona maj 2023, arkusz z rozwiązaniami

, aby rozwiązać online.

2 pkt

W chwili początkowej (

t = 0

) masa substancji jest równa

4

gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa

19%

masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej

t \geq 0

funkcja

m (t)

określa masę substancji w gramach po

t

pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji

m (t)

. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od

1, 5

grama. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m (t) = 4 \cdot 0, 8 1^{t}

; po

5

dobach

Po każdej dobie zostaje $81%$ masy z dnia poprzedniego (ubywa $19%$ ), więc kolejne masy $m (0), m (1), m (2), \dots$ tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $4$ i ilorazie $0, 81$ .
$m (t) = 4 \cdot 0, 8 1^{t}$

Zadanie 2

3 pkt

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe

\frac{1}{4}

.

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = \frac{1}{64}

Zadanie 3

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3 x ^{2} - 2 x}{x ^{2} + 2 x + 8}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Punkt

P = (x_{0}, 3)

należy do wykresu funkcji

f

.

Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 4

3 pkt

Liczby rzeczywiste

x

oraz

y

spełniają jednocześnie równanie

x + y = 4

i nierówność

x^{3} - x^{2} y \leq x y^{2} - y^{3}

.

Wykaż, że

x = 2

oraz

y = 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 5

3 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣∠ A B C ∣ = 90°

oraz

∣∠ C A B ∣ = 60°

. Punkty

K

L

leżą na bokach – odpowiednio –

A B

B C

tak, że

∣ B K ∣ = ∣ B L ∣ = 1

(zobacz rysunek). Odcinek

K L

przecina wysokość

B D

tego trójkąta w punkcie

N

, a ponadto

∣ A D ∣ = 2

.

Wykaż, że

∣ N D ∣ = 3 + 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 6

3 pkt

Rozwiąż równanie

4 sin (4 x) cos (6 x) = 2 sin (10 x) + 1

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{7}{12} π + k π

lub

x = \frac{11}{12} π + k π

, gdzie

k \in Z

Zadanie 7

4 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

6

. Punkt

S

jest punktem przecięcia przekątnych

A H

D E

ściany bocznej

A D H E

(zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta

S B H

poprowadzoną z punktu

S

na bok

B H

tego trójkąta.
Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 8

4 pkt

Czworokąt

A B C D

, w którym

∣ B C ∣ = 4

∣ C D ∣ = 5

, jest opisany na okręgu. Przekątna

A C

tego czworokąta tworzy z bokiem

B C

kąt o mierze

60°

, natomiast z bokiem

A B

– kąt ostry, którego sinus jest równy

\frac{1}{4}

.

Oblicz obwód czworokąta

A B C D

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 9

4 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 < \frac{25}{3} - x^{2} - 6 x + 9

Zapisz obliczenia.

Wskazówka: skorzystaj z tego, że

a^{2} = ∣ a ∣

dla każdej liczby rzeczywistej

a

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 10

4 pkt

Określamy kwadraty

K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots

następująco:
•

K_{1}

jest kwadratem o boku długości

a

•

K_{2}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

•

K_{3}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{2}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej

n \geq 2

,
•

K_{n}

jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu

K_{n - 1}

i dzieli ten bok w stosunku

1 : 3

.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 11

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m \neq = 2

, dla których równanie

x^{2} + 4 x - \frac{m - 3}{m - 2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}, x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 28

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 12.1

2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

dla każdej liczby dodatniej

x

.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

wyrażenie

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

można równoważnie przekształcić do postaci

x^{4} + x^{2} - 6 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 12.2

4 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

dla każdej liczby dodatniej

x

.

Oblicz najmniejszą wartość funkcji

f

określonej dla każdej liczby dodatniej

x

. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji

f

można przedstawić w postaci

f (x) = x^{4} + x^{2} - 6 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Zadanie 13

6 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

prosta

l

o równaniu

x - y - 2 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = 4 x^{2} - 7 x + 1

w punktach

A

oraz

B

. Odcinek

A B

jest średnicą okręgu

O

. Punkt

C

leży na okręgu

O

nad prostą

l

, a kąt

B A C

jest ostry i ma miarę

α

taką, że

tg α = \frac{1}{3}

(zobacz rysunek).

Oblicz współrzędne punktu

C

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź