Matura rozszerzona maj 2023 (F. 2015)

, aby rozwiązać online.

1 pkt

Granica

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )}

jest równa

Poprawna odpowiedź

1

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

1 pkt

Dane są wektory

u = [4, - 5]

oraz

v = [- 1, - 5]

. Długość wektora

u - 4 v

jest równa

Poprawna odpowiedź

17

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

1 pkt

Punkty

A

B

C

D

E

leżą na okręgu o środku

S

. Miara kąta

B C D

jest równa

110°

, a miara kąta

B D A

jest równa

35°

(zobacz rysunek).
Wtedy kąt

D E A

ma miarę równą

Poprawna odpowiedź

105°

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 4

1 pkt

Dany jest zbiór trzynastu liczb

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

, z którego losujemy jednocześnie dwie liczby. Wszystkich różnych sposobów wylosowania z tego zbioru dwóch liczb, których iloczyn jest liczbą parzystą, jest

Poprawna odpowiedź

(2 13) - (2 7)

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 5

2 pkt

Wielomian

W (x) = 7 x^{3} - 9 x^{2} + 9 x - 2

ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty. Oblicz ten pierwiastek.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Poprawna odpowiedź

285

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 6

3 pkt

Liczby rzeczywiste

x

oraz

y

spełniają jednocześnie równanie

x + y = 4

i nierówność

x^{3} - x^{2} y \leq x y^{2} - y^{3}

. Wykaż, że

x = 2

oraz

y = 2

Poprawna odpowiedź

x = 2

oraz

y = 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 7

3 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ ∢ A B C ∣ = 9 0^{\circ}

oraz

∣ ∢ C A B ∣ = 6 0^{\circ}

. Punkty

K

L

leżą na bokach – odpowiednio –

A B

B C

tak, że

∣ B K ∣ = ∣ B L ∣ = 1

(zobacz rysunek). Odcinek

K L

przecina wysokość

B D

tego trójkąta w punkcie

N

, a ponadto

∣ A D ∣ = 2

.
Wykaż, że

∣ N D ∣ = 3 + 1

Poprawna odpowiedź

∣ N D ∣ = 3 + 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 8

3 pkt

W pojemniku jest siedem kul: pięć kul białych i dwie kule czarne. Z tego pojemnika losujemy jednocześnie dwie kule bez zwracania. Następnie – z kul pozostałych w pojemniku – losujemy jeszcze jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim losowaniu.

Poprawna odpowiedź

\frac{2}{7}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 9

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{3 x ^{2} - 2 x}{x ^{2} + 2 x + 8}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Punkt

P = (x_{0}, 3)

należy do wykresu funkcji

f

. Oblicz

x_{0}

oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji

f

w punkcie

P

Poprawna odpowiedź

x_{0} = - 3

oraz

y = - \frac{8}{11} x + \frac{9}{11}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 10

4 pkt

Rozwiąż nierówność

x^{2} + 4 x + 4 < \frac{25}{3} - x^{2} - 6 x + 9

Wskazówka: skorzystaj z tego, że $a^{2} = ∣ a ∣$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$ .

Poprawna odpowiedź

x \in (- \frac{11}{3}, \frac{14}{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 11

4 pkt

Określamy kwadraty

K_{1}, K_{2}, K_{3}, \dots

następująco:

$K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$
$K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$
$K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej

n \geq 2

$K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n - 1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$ .

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny.
Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Poprawna odpowiedź

\frac{8 ( 4 + 10 ) a}{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 12

4 pkt

Rozwiąż równanie

3 sin^{2} x - sin^{2} (2 x) = 0

w przedziale

⟨ π, 2 π ⟩

Poprawna odpowiedź

x \in {π, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}, 2 π}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 13

4 pkt

Czworokąt

A B C D

, w którym

∣ B C ∣ = 4

∣ C D ∣ = 5

, jest opisany na okręgu. Przekątna

A C

tego czworokąta tworzy z bokiem

B C

kąt o mierze

60°

, natomiast z bokiem

A B

- kąt ostry, którego sinus jest równy

\frac{1}{4}

. Oblicz obwód czworokąta

A B C D

Poprawna odpowiedź

163 + 10

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 14

4 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

o krawędzi długości

6

. Punkt

S

jest punktem przecięcia przekątnych

A H

D E

ściany bocznej

A D H E

(zobacz rysunek).

Oblicz wysokość trójkąta

S B H

poprowadzoną z punktu

S

na bok

B H

tego trójkąta.

Poprawna odpowiedź

6

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 15

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m \neq = 2

, dla których równanie

x^{2} + 4 x - \frac{m - 3}{m - 2} = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} > - 28

Poprawna odpowiedź

m \in (\frac{11}{5}, \frac{9}{4})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16.1

3 pkt

Rozważamy trójkąty

A B C

, w których

A = (0, 0)

B = (m, 0)

, gdzie

m \in (4, + \infty)

, a wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - 2 x

. Na boku

B C

tego trójkąta leży punkt

D = (3, 2)

.

a) Wykaż, że dla

m \in (4, + \infty)

pole

P

trójkąta

A B C

, jako funkcja zmiennej

m

, wyraża się wzorem

P (m) = \frac{m ^{2}}{m - 4}

Poprawna odpowiedź

P (m) = \frac{m ^{2}}{m - 4}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 16.2

4 pkt

Rozważamy trójkąty

A B C

, w których

A = (0, 0)

B = (m, 0)

, gdzie

m \in (4, + \infty)

, a wierzchołek

C

leży na prostej o równaniu

y = - 2 x

. Na boku

B C

tego trójkąta leży punkt

D = (3, 2)

.

b) Oblicz tę wartość

m

, dla której funkcja

P

osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej

B C

, przy której funkcja

P

osiąga tę najmniejszą wartość.

Pole trójkąta

A B C

jest równe

P (m) = \frac{m ^{2}}{m - 4}

Poprawna odpowiedź

m = 8

y = - \frac{2}{5} x + \frac{16}{5}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Zobacz rozwiązanie