Matura rozszerzona czerwiec 2026

, aby rozwiązać online.

2 pkt

Dane są liczby rzeczywiste

a

oraz

b

a = 1 6^{\frac{1}{2} l o g_{4} 36 - 2 l o g_{4} 3}

b = lo g_{2} 9 \cdot lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 8

Oblicz wartość ilorazu

\frac{a}{2 b}

. Wynik zapisz w postaci

3^{k}

, gdzie

k \in Z

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{a}{2 b} = 3^{- 3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

3 pkt

Rozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki:

• na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra

2

• cyfra

4

występuje w kodzie dokładnie trzy razy
• cyfra

8

występuje dokładnie dwa razy
• pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.

Oblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

33600

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

3 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{a x ^{2} + x}{x - 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x \neq = 1

.

Wyznacz wszystkie wartości

a

, dla których pochodna funkcji

f

w punkcie

x = a

jest równa

(- \frac{1}{2} a)

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a = 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

x y + x + y \leq x^{2} + y^{2} + 1

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

0 \leq (x - y)^{2} + (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

3 pkt

Odcinek

C D

jest wysokością trójkąta równoramiennego

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = ∣ B C ∣

. Prosta

p

jest prostopadła do boku

B C

i przecina ten bok w punkcie

L

. Ta prosta przecina wysokość

C D

w punkcie

K

oraz przecina bok

A C

w punkcie różnym od

A

.

Wykaż, że

∣∠ C A K ∣ = ∣∠ K D L ∣

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

∣∠ C A K ∣ = ∣∠ K B L ∣ = ∣∠ K D L ∣

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

4 pkt

Chleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni:

P_{1}

P_{2}

P_{3}

. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie

P_{1}

P_{2}

oraz

P_{3}

do tego supermarketu jest – odpowiednio – równy

2 : 3 : 4

.

Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:
–

P_{1}

stanowi

10%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni,
–

P_{2}

stanowi

12%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni,
–

P_{3}

stanowi

15%

liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni

P_{1}

, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = \frac{5}{29}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

14

. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

jest równa

392

.

Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{n} = 7 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

4 pkt

Trzywyrazowy ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o

4

, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o

1

, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.

Oblicz

x, y

oraz

z

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

(x, y, z) = (1, 3, 9)

lub

(x, y, z) = (\frac{1}{9}, \frac{7}{9}, \frac{49}{9})

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

4 pkt

Pole czworokąta

A B C D

wpisanego w okrąg jest równe

18

. Boki

A B

B C

są prostopadłe, a ponadto

∣ A B ∣ = 4

oraz

∣ B C ∣ = 7

.

Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

L = 20

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

4 pkt

Rozwiąż równanie

sin x + sin (2 x) - cos x = \frac{1}{2}

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = \frac{π}{6} + 2 π k \lor x = \frac{5 π}{6} + 2 π k \lor x = \frac{2 π}{3} + 2 π k \lor x = - \frac{2 π}{3} + 2 π k, k \in Z

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} + m x + m = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

spełniające warunek

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + 4 \cdot x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} \geq 3

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (- \infty, - 1] \cup (4, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

5 pkt

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

ma objętość równą

363

. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną

γ

, która:

• jest prostopadła do ściany bocznej

C D S

ostrosłupa
• przechodzi przez środek

K

krawędzi

A D

oraz środek

L

krawędzi

B C

• przecina krawędź boczną

C S

w punkcie

M

oraz krawędź boczną

D S

w punkcie

N

• tworzy z płaszczyzną podstawy

A B C D

kąt o mierze

30°

.

Przekrój

K L M N

wyznaczony przez płaszczyznę

γ

jest trapezem równoramiennym.

Oblicz pole trapezu

K L M N

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P_{K L M N} = \frac{63 3}{8}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.1

2 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

.

Wykaż, że pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13.2

4 pkt

W kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne

A B C

, w których

C = (0, 0)

, wierzchołek

B

leży na dodatniej półosi

O y

, wierzchołek

A

leży na dodatniej półosi

O x

, natomiast bok

A B

jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt

K = (1, 2)

.

Pole

P

trójkąta

A B C

w zależności od współczynnika kierunkowego

a

prostej

A B

jest określone wzorem

P (a) = \frac{- a ^{2} + 4 a - 4}{2 a}

dla

a < 0

.

Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną

A B

tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

y = - 2 x + 4

Rozwiązanie krok po kroku