Matura rozszerzona grudzień 2022

, aby rozwiązać online.

2 pkt

Oblicz

\frac{lo g _{3} 5 \cdot lo g _{25} 27}{lo g _{7} 6 49}

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{9}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2.1

2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

.

Fragment wykresu funkcji

g

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja

g

przyjmuje w przedziale

[9, 11]

. Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

[0, \frac{9}{4}]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2.2

2 pkt

Funkcja

g

jest określona wzorem

g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 5

dla każdego

x \in R

.

Fragment wykresu funkcji

g

w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).

Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru

m

, dla których równanie

g (x) = ∣ m ∣

ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (- 5, - 4) \cup {0} \cup (4, 5)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

oraz dla każdej liczby rzeczywistej

y

, spełniających warunek

x + y \geq 1

, prawdziwa jest nierówność

x^{3} + 2 x y + y^{3} \geq x^{2} + x y (x + y) + y^{2}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x^{3} + 2 x y + y^{3} \geq x^{2} + x y (x + y) + y^{2}

dla

x + y \geq 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

3 pkt

Maszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona

200

g herbaty. Torebkę, która zawiera mniej niż

200

g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą. Prawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest z niedowagą, jest równe

0, 1

. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych przez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo

20

torebek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych

20

losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą. Zapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P (A) \approx 0, 68

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

4 pkt

Rozwiąż równanie

6 sin x + 23 cos x + 3 tg x + 3 = 0

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{π}{6} + k π \lor x = \frac{2 π}{3} + 2 k π \lor x = - \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

4 pkt

W trójkącie

A B C

poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki

B C

A C

A B

tego trójkąta w punktach - odpowiednio -

K

L

oraz

M

. Punkt

P

jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach

C L P K

oraz

B K P M

można opisać okrąg.

Udowodnij, że trójkąt

A B C

jest równoboczny.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Trójkąt

A B C

jest równoboczny.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

4 pkt

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej

480

litrów i nie może przekroczyć

530

litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji

(480 + x)

litrów dziennie przeciętny koszt

K

(w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

K (x) = \frac{22 x ^{2} - 621 , 5 x + 23 430}{480 + x}

, gdzie

x \in [0, 50]

.

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

495

litrów,

K = 38, 50

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

5 pkt

Rozwiąż nierówność

\frac{x - 1}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{2 - x} \geq \frac{3}{2 + x} + 2

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in [- 3, - 2) \cup (2, \frac{5}{2}]

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

5 pkt

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie

x^{2} - (m - 4) x + m^{2} - 7 m + 12 = 0

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste

x_{1}

oraz

x_{2}

, spełniające warunek

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} < 5 x_{1}^{2} \cdot x_{2} + 5 x_{1} \cdot x_{2}^{2}

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

m \in (\frac{20}{7}, 4)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

5 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

A B C D S

o podstawie

A B C D

. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość

a

. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze

α

takim, że

cos α = \frac{10}{10}

. Przez krawędź

B C

podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę

π

prostopadłą do ściany bocznej

S A D

.

Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę

π

i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P_{p r z e k r o j u} = \frac{27 10}{100} a^{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

5 pkt

Dany jest trapez

A B C D

o podstawach

A B

C D

, w którym

∣ A B ∣ > ∣ C D ∣

oraz ramię

B C

ma długość

6

. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu

R = 5

. Miary kątów

B A C

A B C

tego trapezu spełniają warunek

\frac{sin ∣∠ B A C ∣}{sin ∣∠ A B C ∣} = \frac{5}{8}

Oblicz pole i obwód trapezu

A B C D

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P = \frac{27 648}{625}

L = 27, 36

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

6 pkt

Prosta

k

o równaniu

x + y - 9 = 0

przecina parabolę o równaniu

y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}

w punktach

A

oraz

B

. Pierwsza współrzędna punktu

A

jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu

B

jest liczbą ujemną. Prosta

l

jest równoległa do prostej

k

i styczna do danej paraboli w punkcie

C

.

Oblicz odległość punktu

C

od prostej

k

oraz pole trójkąta

A B C

.

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

h_{C} = \frac{9}{2}

P = 54

Rozwiązanie krok po kroku