Matura podstawowa marzec 2021, arkusz z odpowiedziami

1 pkt

Liczba

(6 - 2)^{2} - 23

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

8 - 63

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 2

1 pkt

Liczba

2 lo g_{5} 4 - 3 lo g_{5} \frac{1}{2}

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

7 lo g_{5} 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 3

1 pkt

Medyczna maseczka ochronna wielokrotnego użytku z wymiennymi filtrami wskutek podwyżki zdrożała o

40%

i kosztuje obecnie

106, 40

zł. Cena maseczki przed podwyżką była równa

Poprawna odpowiedź

C.

76, 00

zł

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 4

1 pkt

Dla każdej dodatniej liczby

b

wyrażenie

(b \cdot 4 b)^{\frac{1}{3}}

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

b^{0, 25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 5

1 pkt

Para liczb

x = 1, y = - 3

spełnia układ równań

{x - y = a^{2} (1 + a) x - 3 y = - 4 a

Wtedy

a

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

a = - 2

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 6

1 pkt

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania

2 (x - 4) (x^{2} - 1) = 0

jest równy

Poprawna odpowiedź

B.

- 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 7

1 pkt

Zbiorem rozwiązań nierówności

\frac{12 - 5 x}{2} < 3 (1 - \frac{1}{2} x) + 7 x

jest

Poprawna odpowiedź

D.

(\frac{3}{8}, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 8

1 pkt

Funkcja liniowa

f (x) = (a - 1) x + 3

osiąga wartość najmniejszą równą

3

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

C.

a = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 9

1 pkt

Na wykresie przedstawiono wykres funkcji

f

.

Wskaż zdanie prawdziwe.

Poprawna odpowiedź

D.

(- 4, 5 ⟩

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 10

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = \frac{8 x - 7}{2 x ^{2} + 1}

dla każdej liczby rzeczywistej

x

. Wartość funkcji

f

dla argumentu

1

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{1}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 11

1 pkt

Ciąg

(x, y, z)

jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy

64

. Stąd wynika, że

y

jest równe

Poprawna odpowiedź

C.

4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

, określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa

5

, a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

(- 3)

. Wtedy iloraz

\frac{a _{4}}{a _{2}}

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 13

1 pkt

Trójkąt

A B C

jest wpisany w okrąg o środku

O

. Miara kąta

C A O

jest równa

70°

(zobacz rysunek). Wtedy miara kąta

A B C

jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

20°

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 14

1 pkt

Ciągi

(a_{n})

,

(b_{n})

oraz

(c_{n})

są określone dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

następująco:

$a_{n} = 6 n^{2} - n^{3}$
$b_{n} = 2 n + 13$
$c_{n} = 2^{n}$

Wskaż zdanie prawdziwe.

Poprawna odpowiedź

B. Ciąg

(b_{n})

jest arytmetyczny.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 15

1 pkt

Ciąg

(a_{n})

jest określony wzorem

a_{n} = (- 2)^{n} \cdot n + 1

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Wtedy trzeci wyraz tego ciągu jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

- 23

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 16

1 pkt

W romb o boku

23

i kącie

60°

wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{3}{2}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 17

1 pkt

Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego

A B C

poprowadzono prostą

D E

równoległą do podstawy

A B

(zobacz rysunek).Stosunek pola trójkąta

A B C

do pola trójkąta

C D E

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

9 : 4

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 18

1 pkt

Końcami odcinka

P R

są punkty

P = (4, 7)

i

R = (- 2, - 3)

. Odległość punktu

T = (3, - 1)

od środka odcinka

P R

jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

13

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 19

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

sin α = \frac{4}{5}

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

D.

cos α = \frac{3}{5}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20

1 pkt

Dane są punkty

M = (6, 0)

,

N = (6, 8)

oraz

O = (0, 0)

. Tangens kąta ostrego

M O N

jest równy

Poprawna odpowiedź

A.

\frac{4}{3}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 21

1 pkt

Proste o równaniach

y = 3 a x - 2

i

y = 2 x + 3 a

są prostopadłe. Wtedy

a

jest równe

Poprawna odpowiedź

B.

- \frac{1}{6}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 22

1 pkt

Dany jest trapez

A B C D

, w którym boki

A B

i

C D

są równoległe oraz

C = (3, 5)

. Wierzchołki

A

i

B

tego trapezu leżą na prostej o równaniu

y = 5 x + 3

. Wtedy bok

C D

tego trapezu zawiera się w prostej o równaniu

Poprawna odpowiedź

C.

y = 5 x - 10

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 23

1 pkt

W trapezie równoramiennym

A B C D

podstawy

A B

i

C D

mają długości równe odpowiednio

a

i

b

(przy czym

a > b

). Miara kąta ostrego trapezu jest równa

3 0^{\circ}

. Wtedy wysokość tego trapezu jest równa

Poprawna odpowiedź

B.

\frac{a - b}{6} \cdot 3

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 24

1 pkt

Przekątna sześcianu ma długość

53

. Wtedy objętość tego sześcianu jest równa

Poprawna odpowiedź

A.

125

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 25

1 pkt

Ostrosłupy prawidłowe trójkątne

O_{1}

i

O_{2}

mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa

O_{1}

jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa

O_{2}

. Stosunek objętości ostrosłupa

O_{1}

do objętości ostrosłupa

O_{2}

jest równy

Poprawna odpowiedź

C.

9 : 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 26

1 pkt

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których cyfra

7

występuje dokładnie jeden raz, jest

Poprawna odpowiedź

A.

85

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 27

1 pkt

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez

5

, jest równe

Poprawna odpowiedź

D.

\frac{18}{90}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 28

1 pkt

Liczba

x

jest dodatnia. Mediana zestawu czterech liczb:

1 + x

,

1 + 2 x

,

4 + 3 x

,

1

, jest równa

10

. Wtedy

Poprawna odpowiedź

A.

x = 6

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 29

2 pkt

Rozwiąż nierówność:

3 x (x + 1) > x^{2} + x + 24

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x \in (- \infty, - 4) \cup (3, + \infty)

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 30

2 pkt

Rozwiąż równanie:

\frac{6 x - 1}{3 x - 2} = 3 x + 2

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

x = - \frac{1}{3}

lub

x = 1

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 31

2 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości

a

i

b

. Punkt

O

leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że promień

r

tego okręgu jest równy

\frac{ab}{a + b}

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P_{A B C} = \frac{1}{2} (a + b) \cdot r = \frac{1}{2} ab

, stąd

r = \frac{ab}{a + b}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 32

2 pkt

Kąt

α

jest ostry i

sin α + cos α = \frac{7}{5}

. Oblicz wartość wyrażenia

2 sin α cos α

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

2 sin α cos α = \frac{24}{25}

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 33

2 pkt

Dany jest czworokąt

A B C D

, w którym

∣ B C ∣ = ∣ C D ∣ = ∣ A D ∣ = 13

(zobacz rysunek). Przekątna

B D

tego czworokąta ma długość

10

i jest prostopadła do boku

A D

. Oblicz pole czworokąta

A B C D

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

P_{A B C D} = 125

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 34

2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = x^{2} + b x + c

nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że

1 + c > b

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Podstawiając

x = - 1

otrzymujemy

f (- 1) = 1 - b + c > 0

, czyli

1 + c > b

.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 35

5 pkt

Rosnący ciąg arytmetyczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa

10

. Wyrazy

a_{3}

,

a_{5}

,

a_{13}

tworzą, w podanej kolejności, ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na

n

-ty wyraz ciągu arytmetycznego

(a_{n})

.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{n} = 3 n - 7

Rozwiązanie krok po kroku